Calcule integral triplaR sen(x+y+z) d x d y d z, onde R=[0, pi] x[0, pi] x[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de no intervalo onde , e variam de 0 a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral múltiplo, especificamente integração em três dimensões. Para resolver, vamos integrar passo a passo em relação a , depois e finalmente .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^pi sen(x + y + z) , dx = -cos(x + y + z) gr|0^pi . A função que vamos integrar é , e como e são constantes nessa integração, podemos tratar como um termo constante. A integral de em relação a é , então:

Passo 3

Agora, vamos avaliar os limites de integração:
-cos(pi + y + z) + cos(0 + y + z) = -cos(pi + y + z) + cos(y + z)
Sabemos que -cos(pi + y + z) = -(-cos(y + z)) = cos(y + z) , então:
cos(y + z) + cos(y + z) = 2cos(y + z)
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integral0^pi 2cos(y + z) , dy em relação a 2integralz^pi + z cos(u) , du = 2[sen(u)]z^pi + z de 0 a 2[sen(pi + z) - sen(z)] :
2[-sen(z) - sen(z)] = 2(-2sen(z)) = -4sen(z)
Fazendo a substituição , temos e os limites se tornam e . A integral fica:
Avaliar os limites:
Sabemos que , então:

Passo 5

Finalmente, vamos integrar em relação a integral0^pi -4sen(z) , dz = -4[-cos(z)]0^pi = 4[cos(pi) - cos(0)] de 0 a 4[-1 - 1] = 4(-2) = -8 :
Sabemos que e , então:

Resposta

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