Calcule
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de no intervalo onde
,
e
variam de 0 a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral múltiplo, especificamente integração em três dimensões. Para resolver, vamos integrar passo a passo em relação a
, depois
e finalmente
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A função que vamos integrar é , e como
e
são constantes nessa integração, podemos tratar
como um termo constante. A integral de em relação a
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos avaliar os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
de 0 a
:
Fazendo a substituição
, temos
e os limites se tornam
e
. A integral fica:
Avaliar os limites:
Sabemos que , então:
Passo 5
Finalmente, vamos integrar em relação a
de 0 a
:
Sabemos que
e
, então: