Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função.
f(x, y)=(x+y+1)^2x^2+y^2+1

Passo 1

A função dada é f(x,y)=\frac{(x+y+1)2}{x2+y^2+1}. Vamos estudar extremos de funções de duas variáveis: primeiro encontramos pontos críticos via ∇f=0, depois classificamos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais usando a regra do quociente. Defina A=x+y+1 e B=x2+y2+1. Então f= A^2/B. As derivadas são
partial fpartial x=2Al(B - xAr)B^2,
partial fpartial y=2Al(B - yAr)B^2

Passo 3

Para ter ∇f=0 precisamos que cada numerador seja zero. Logo ou A=0 (ou seja x+y+1=0) ou B - xA=0 e B - yA=0 simultaneamente.

Passo 4

Da condição A=0 vem a reta x+y+1=0. Nela (x+y+1)^2=0⇒f=0. Esses pontos são candidatos a mínimo. Agora supondo A≠0, resolvemos o sistema
B - xA=0, B - yA=0

Passo 5

Subtraindo as equações surge y=x. Substituindo em B - xA=0 dá x=1, y=1. Portanto o único ponto isolado é (1,1).

Passo 6

No ponto (1,1) temos A=3, B=3 ⇒ f(1,1)=\frac{9}{3}=3. Já na reta x+y+1=0 obtemos f=0.

Passo 7

Para classificar (1,1) calculamos a Hessiana. No geral f_{xx}=\frac{U_x}{B^2}, f_{xy}=\frac{U_y}{B^2}, f_{yy}=\frac{V_y}{B^2} com U_y e V deriváveis. Em (1,1) achamos
fxx=-tfrac43, fyy=-tfrac43, fxy=tfrac23

Passo 8

O determinante da Hessiana é f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=\tfrac{16}{9}-\tfrac{4}{9}=\tfrac{12}{9}>0 e f_{xx}<0, logo (1,1) é máximo local.

Passo 9

A reta x+y+1=0 dá f=0 em toda parte, e como f≥0 sempre, é mínimo global (logo também local). Não há outros pontos críticos nem pontos de sela.

Resposta

Mínimos locais (e globais) em todos os pontos da reta x+y+1=0, com valor f=0; máximo local (e global) em (1,1), com valor f=3; sem pontos de sela.

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