Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função.
Passo 1
A função dada é f(x,y)=\frac{(x+y+1)2}{x2+y^2+1}. Vamos estudar extremos de funções de duas variáveis: primeiro encontramos pontos críticos via ∇f=0, depois classificamos usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais usando a regra do quociente. Defina A=x+y+1 e B=x2+y2+1. Então f= A^2/B. As derivadas são
Passo 3
Para ter ∇f=0 precisamos que cada numerador seja zero. Logo ou A=0 (ou seja x+y+1=0) ou B - xA=0 e B - yA=0 simultaneamente.
Passo 4
Da condição A=0 vem a reta x+y+1=0. Nela (x+y+1)^2=0⇒f=0. Esses pontos são candidatos a mínimo. Agora supondo A≠0, resolvemos o sistema
Passo 5
Subtraindo as equações surge y=x. Substituindo em B - xA=0 dá x=1, y=1. Portanto o único ponto isolado é (1,1).
Passo 6
No ponto (1,1) temos A=3, B=3 ⇒ f(1,1)=\frac{9}{3}=3. Já na reta x+y+1=0 obtemos f=0.
Passo 7
Para classificar (1,1) calculamos a Hessiana. No geral f_{xx}=\frac{U_x}{B^2}, f_{xy}=\frac{U_y}{B^2}, f_{yy}=\frac{V_y}{B^2} com U_y e V deriváveis. Em (1,1) achamos
Passo 8
O determinante da Hessiana é f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=\tfrac{16}{9}-\tfrac{4}{9}=\tfrac{12}{9}>0 e f_{xx}<0, logo (1,1) é máximo local.
Passo 9
A reta x+y+1=0 dá f=0 em toda parte, e como f≥0 sempre, é mínimo global (logo também local). Não há outros pontos críticos nem pontos de sela.
Resposta
Mínimos locais (e globais) em todos os pontos da reta x+y+1=0, com valor f=0; máximo local (e global) em (1,1), com valor f=3; sem pontos de sela.