Uma companhia de fertilizantes produz fertilizantes em sacos de 10 kg com desvio-padrão de 1,25 \mathrm{~kg}. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 15 sacos tenha peso total entre 135 e 142,5 \mathrm{~kg} ?
◯ 0,402
◯ 0,510
◯ 0,567
◯ 0,598
◯ 0,433

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que o peso total de uma amostra aleatória de 15 sacos esteja entre 135 e 142,5\\ \mathrm{kg}. Informações fornecidas:
  • Cada saco tem peso nominal de 10\\ \mathrm{kg} (assumimos que esse é o valor esperado por saco, ou seja \mu=10\\ \mathrm{kg}).
  • O desvio-padrão do peso de um saco é \sigma=1{,}25\\ \mathrm{kg}.
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Queremos P\big(135 \le S \le 142{,}5\big), onde S é o peso total dos 15 sacos.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Se X_1,\dots,X_n são os pesos independentes dos n sacos, o peso total é S=\sum_{i=1}^n X_i.
  • A esperança (média) do total é a soma das esperanças:
\mathbb{E}[S]=n\mu.
Aqui \mu é a média de um saco e n o número de sacos.
  • A variância do total soma as variâncias (se independentes):
\operatorname{Var}(S)=n\sigma^2.
O desvio-padrão do total é
\sigma_S=\sqrt{\operatorname{Var}(S)}=\sigma\sqrt{n}.
  • Para n razoavelmente grande o Teorema Central do Limite diz que S é aproximadamente normal. Mesmo que n=15 seja moderado, é comum usar a aproximação normal quando a distribuição individual não é extremamente assimétrica. Então vamos aproximar S por uma normal com média n\mu e desvio padrão \sigma\sqrt{n}.
  • Para transformar um valor x do total em escore padrão usamos
z=\frac{x-\mathbb{E}[S]}{\sigma_S},
e então usamos a tabela da normal padrão (função distribuição \Phi) para obter probabilidades.

Passo 3

Calcular os parâmetros numéricos do total:
  • Média do total:
\mathbb{E}[S]=n\mu=15\cdot 10=150\\ \mathrm{kg}.
  • Desvio-padrão do total:
\sigma_S=\sigma\sqrt{n}=1{,}25\sqrt{15}.
Calculemos \sqrt{15} e \sigma_S:
\sqrt{15}\approx 3{,}872983346, \qquad \sigma_S=1{,}25\cdot 3{,}872983346\approx 4{,}841229183\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular os escores z para os limites 135 e 142{,}5:
  • Para x=135:
z_1=\frac{135-150}{\sigma_S}=\frac{-15}{4{,}841229183}\approx -3{,}098386679.
  • Para x=142{,}5:
z_2=\frac{142{,}5-150}{\sigma_S}=\frac{-7{,}5}{4{,}841229183}\approx -1{,}549193340.

Passo 5

Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
P(135\le S\le 142{,}5)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1).
Usando valores da tabela (ou calculadora):
  • \Phi(-1{,}549193340)=1-\Phi(1{,}549193340)\approx 1-0{,}93935\approx 0{,}06065.
  • \Phi(-3{,}098386679)=1-\Phi(3{,}098386679)\approx 1-0{,}99899\approx 0{,}00101.
Portanto
P(135\le S\le 142{,}5)\approx 0{,}06065-0{,}00101\approx 0{,}05964\approx 0{,}0597.
Interpretando: a probabilidade é pequena — cerca de 6{,}0\% — porque 135 e 142{,}5 estão bem abaixo da média total de 150\\ \mathrm{kg}; o intervalo pedido fica na cauda esquerda da distribuição do total.

Resposta

0,0597

Exercícios relacionados