Uma companhia de fertilizantes produz fertilizantes em sacos de 10 kg com desvio-padrão de
. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 15 sacos tenha peso total entre 135 e
?
◯ 0,402
◯ 0,510
◯ 0,567
◯ 0,598
◯ 0,433
◯ 0,402
◯ 0,510
◯ 0,567
◯ 0,598
◯ 0,433
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que o peso total de uma amostra aleatória de 15 sacos esteja entre 135 e
. Informações fornecidas:
- Cada saco tem peso nominal de
(assumimos que esse é o valor esperado por saco, ou seja ). - O desvio-padrão do peso de um saco é
. - Tamanho da amostra:
. - Queremos
, onde é o peso total dos 15 sacos.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Se
são os pesos independentes dos sacos, o peso total é . - A esperança (média) do total é a soma das esperanças:
Aqui
é a média de um saco e
o número de sacos.
- A variância do total soma as variâncias (se independentes):
O desvio-padrão do total é
- Para
razoavelmente grande o Teorema Central do Limite diz que é aproximadamente normal. Mesmo que seja moderado, é comum usar a aproximação normal quando a distribuição individual não é extremamente assimétrica. Então vamos aproximar por uma normal com média e desvio padrão . - Para transformar um valor
do total em escore padrão usamos
e então usamos a tabela da normal padrão (função distribuição
) para obter probabilidades.
Passo 3
Calcular os parâmetros numéricos do total:
- Média do total:
- Desvio-padrão do total:
Calculemos
e
:
Passo 4
Calcular os escores
para os limites
e
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
Usando valores da tabela (ou calculadora):
Portanto
Interpretando: a probabilidade é pequena — cerca de
— porque 135 e
estão bem abaixo da média total de
; o intervalo pedido fica na cauda esquerda da distribuição do total.