Uma fábrica de peças produz um componente com diâmetro de 25 mm . Se o desviopadrão dos diâmetros é de 0,05 \mathrm{~mm}. Qual o percentual desses componentes fabricados estarem fora do especificado? Sabe-se que a tolerância para fabricação é de \pm 0.07 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede o percentual dos componentes que ficam fora da especificação de tolerância. Informações dadas:
  • Diâmetro alvo (média): \mu=25\\ \mathrm{mm}.
  • Desvio-padrão dos diâmetros: \sigma=0,05\\ \mathrm{mm}.
  • Tolerância: \pm 0,07\\ \mathrm{mm}, ou seja, aceitáveis os diâmetros entre 25-0,07=24,93\\ \mathrm{mm} e 25+0,07=25,07\\ \mathrm{mm}.
    Pergunta a responder: qual o percentual dos componentes que estão fora desse intervalo [24,93,\;25,07]?

Passo 2

Modelagem do problema (o porquê é importante entender): costuma-se modelar a variação de diâmetros como uma variável aleatória X com distribuição aproximadamente normal centrada em \mu e com desvio-padrão \sigma. Então interessa a probabilidade
P\bigl(|X-\mu|>0,07\bigr)=P\bigl(X<24,93\bigr)+P\bigl(X>25,07\bigr).
Explicar a ideia: P(|X-\mu|>0,07) é a fração de peças que caem fora do intervalo de tolerância; multiplicando por 100 obtemos o percentual.

Passo 3

Padronização para a Normal Padrão: para usar tabelas ou calculadora da normal padrão, transformamos qualquer valor x em um escore z por
z=\frac{x-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio-padrão. Aqui a distância da média é 0,07\\ \mathrm{mm}, então o valor de z correspondente é
z=\frac{0,07}{0,05}=1,4.
Usando simetria da normal, temos
P\bigl(X>25,07\bigr)=1-\Phi(1,4), \qquad P\bigl(X<24,93\bigr)=\Phi(-1,4)=1-\Phi(1,4),
onde \Phi(z) é a função distribuição acumulada da normal padrão. Portanto
P\bigl(|X-\mu|>0,07\bigr)=2\bigl(1-\Phi(1,4)\bigr).

Passo 4

Consulta da tabela (ou calculadora) da normal padrão: a tabela fornece \Phi(1,4). Valor típico de tabela é
\Phi(1,4)\approx 0,91924.
Explicação didática: \Phi(1,4) é a área à esquerda de z=1,4 sob a curva normal padrão; 1-\Phi(1,4) é a área à direita (probabilidade de exceder z=1,4).

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
1-\Phi(1,4)=1-0,91924=0,08076.
Multiplicando por 2 (as duas caudas, inferior e superior):
P\bigl(|X-\mu|>0,07\bigr)=2\cdot 0,08076=0,16152.
Convertendo para percentual:
0,16152\times 100 = 16,152\%.
Arredondando de forma prática para a prova: 16,15\% (duas casas decimais).

Passo 6

Interpretação e dica de prova: cerca de 16,15\% das peças saem fora da tolerância \pm 0,07\\ \mathrm{mm}. Em provas, o passo-chave é calcular o z-score \dfrac{0,07}{0,05}=1,4, usar tabela/funcão \Phi e aplicar a simetria para obter 2(1-\Phi(z)). Respire fundo — esse tipo de questão é só rotina de padronização e leitura de tabela!

Resposta

16,15\%

Exercícios relacionados