O número médio de navios petroleiros que chegam a cada dia num certo porto é três. As instalações do porto podem suportar no máximo 5 navios por dia. Qual é a probabilidade de que, em certo dia, navios tenham de ser mandados embora?
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Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Informação: o número médio de navios que chegam por dia é
. - Informação: o porto suporta no máximo
navios por dia. - Pergunta: qual a probabilidade de que, em um dia qualquer, navios tenham de ser mandados embora?
Observação importante: “navios terem de ser mandados embora” significa que chegaram mais do que a capacidade do porto (mais do que
navios) num mesmo dia.
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Quando contamos o número de ocorrências discretas que ocorrem independentemente num intervalo de tempo e sabemos a média
dessas ocorrências por intervalo, usamos o modelo de Poisson. - No modelo de Poisson, se
é o número de chegadas num dia e é a média, a probabilidade de exatamente chegadas é
Aqui
é o número médio de chegadas por dia (no enunciado
),
é um número inteiro não negativo e
denota o fatorial de
(por exemplo
).
Passo 3
Expressar o evento pedido em termos de
.
- “Ter de mandar navios embora” equivale a “chegarem
ou mais navios”, ou seja ao evento . - A probabilidade buscada é
Vamos calcular
e subtrair de
.
Passo 4
Calcular cada probabilidade
para
com
.
- Primeiro calculemos
. Usando aproximação:
- Agora cada termo:
Passo 5
Somar os termos para obter
e então a probabilidade complementar.
- Soma:
- Efetuando a soma passo a passo:
Portanto
.
- A probabilidade de que navios tenham de ser mandados embora é a complementar:
Passo 6
Interpretação final e aproximação em percentagem.
- Convertendo para porcentagem:
, que arredondado com uma casa decimal dá . - Entre as alternativas fornecidas, a que coincide é
.