O número médio de navios petroleiros que chegam a cada dia num certo porto é três. As instalações do porto podem suportar no máximo 5 navios por dia. Qual é a probabilidade de que, em certo dia, navios tenham de ser mandados embora?
18,5 \%
8,4 \%
4,9 \%
3,5 \%
22,4 \%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informação: o número médio de navios que chegam por dia é \,3.
  • Informação: o porto suporta no máximo \,5 navios por dia.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, em um dia qualquer, navios tenham de ser mandados embora?
Observação importante: “navios terem de ser mandados embora” significa que chegaram mais do que a capacidade do porto (mais do que 5 navios) num mesmo dia.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Quando contamos o número de ocorrências discretas que ocorrem independentemente num intervalo de tempo e sabemos a média \lambda dessas ocorrências por intervalo, usamos o modelo de Poisson.
  • No modelo de Poisson, se X é o número de chegadas num dia e \lambda é a média, a probabilidade de exatamente k chegadas é
P(X=k)=\mathrm{e}^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui \lambda é o número médio de chegadas por dia (no enunciado \lambda=3), k é um número inteiro não negativo e k! denota o fatorial de k (por exemplo 3! = 3\cdot2\cdot1).

Passo 3

Expressar o evento pedido em termos de X.
  • “Ter de mandar navios embora” equivale a “chegarem 6 ou mais navios”, ou seja ao evento \{X\ge 6\}.
  • A probabilidade buscada é
P(X\ge 6)=1-P(X\le 5)=1-\sum_{k=0}^{5}P(X=k).
Vamos calcular \sum_{k=0}^{5}P(X=k) e subtrair de 1.

Passo 4

Calcular cada probabilidade P(X=k) para k=0,1,2,3,4,5 com \lambda=3.
  • Primeiro calculemos \mathrm{e}^{-3}. Usando aproximação:
\mathrm{e}^{-3}\approx 0,04978707.
  • Agora cada termo:
P(X=0)=\mathrm{e}^{-3}\frac{3^{0}}{0!}=\mathrm{e}^{-3}\approx 0,04978707.
P(X=1)=\mathrm{e}^{-3}\frac{3^{1}}{1!}=3\mathrm{e}^{-3}\approx 0,14936121.
P(X=2)=\mathrm{e}^{-3}\frac{3^{2}}{2!}=\mathrm{e}^{-3}\frac{9}{2}\approx 0,22404181.
P(X=3)=\mathrm{e}^{-3}\frac{3^{3}}{3!}=\mathrm{e}^{-3}\frac{27}{6}\approx 0,22404181.
P(X=4)=\mathrm{e}^{-3}\frac{3^{4}}{4!}=\mathrm{e}^{-3}\frac{81}{24}\approx 0,16803136.
P(X=5)=\mathrm{e}^{-3}\frac{3^{5}}{5!}=\mathrm{e}^{-3}\frac{243}{120}\approx 0,10081881.

Passo 5

Somar os termos para obter P(X\le 5) e então a probabilidade complementar.
  • Soma:
\sum_{k=0}^{5}P(X=k)\approx 0,04978707+0,14936121+0,22404181+0,22404181+0,16803136+0,10081881.
  • Efetuando a soma passo a passo:
0,04978707+0,14936121=0,19914828,
0,19914828+0,22404181=0,42319009,
0,42319009+0,22404181=0,64723190,
0,64723190+0,16803136=0,81526326,
0,81526326+0,10081881=0,91608207.
Portanto P(X\le 5)\approx 0,91608207.
  • A probabilidade de que navios tenham de ser mandados embora é a complementar:
P(X\ge 6)=1-0,91608207\approx 0,08391793.

Passo 6

Interpretação final e aproximação em percentagem.
  • Convertendo para porcentagem: 0,08391793\approx 8,391793\%, que arredondado com uma casa decimal dá \,8,4\%.
  • Entre as alternativas fornecidas, a que coincide é \,8,4\%.

Resposta

\,8,4\%

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