A experiência têm mostrado que a duração média das lâmpadas de retroprojetores é de 70 horas com desvio padrão de 8 horas. Qual a probabilidade de determinada lâmpada durar mais de 82 horas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Informação: a duração média das lâmpadas é de \mu=70 horas.
  • Informação: o desvio padrão da duração é \sigma=8 horas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais que 82 horas?

Passo 2

Modelagem (o que vamos calcular). Como o enunciado diz que experiências mostram média e desvio padrão típicos, é padrão modelar a duração por uma variável aleatória aproximadamente normal. Vamos chamar X a duração da lâmpada e assumir que
X \sim N(\mu,\sigma^2)=N(70,8^2).
Isto significa que a média (valor esperado) de X é \mu=70 e a dispersão típica em torno dessa média é medida por \sigma=8.

Passo 3

Converter o problema em termos da normal padrão. Queremos calcular
P(X>82).
Para usar tabelas ou a função da normal padrão, padronizamos X subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão. Definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição normal padrão N(0,1), ou seja média 0 e desvio padrão 1. A padronização transforma qualquer normal em uma normal padrão, permitindo usar tabelas da \Phi (função de distribuição da normal padrão).

Passo 4

Calculando o valor de Z correspondente a X=82:
z=\frac{82-70}{8}=\frac{12}{8}=1,5.
Isso significa que 82 horas estão 1{,}5 desvios-padrão acima da média.

Passo 5

Expressar a probabilidade em termos de \Phi. Temos
P(X>82)=P\!\left(Z>1{,}5\right)=1-\Phi(1{,}5).
Pela simetria da normal padrão também vale \Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5), então P(X>82)=\Phi(-1{,}5). Isso é só uma forma alternativa de ver a mesma área.

Passo 6

Consulta da tabela ou calculadora. O valor da função distribuição padrão em 1{,}5 é (tabela ou calculadora)
\Phi(1{,}5)\approx0,93319.
Portanto
P(X>82)=1-0,93319=0,06681\approx0,0668.
Em porcentagem, isto é aproximadamente 6{,}68\%.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova. A resposta significa que, se as lâmpadas seguem essa distribuição, cerca de 6{,}7\% das lâmpadas duram mais de 82 horas. Na prova: memorize o procedimento — padronizar com Z=(X-\mu)/\sigma, calcular z e consultar \Phi(z) — e treine usar tanto tabelas quanto a função normal da calculadora para ganhar velocidade.

Resposta

0,0668
6,68\%

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