A companhia MB resolveu fazer uma pesquisa sobre seus funcionários a fim de buscar maneiras de melhorar o rendimento, satisfação e lealdade de seus funcionários. Para tal, coletou informações sobre o estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário (dado como fração do salário minimo), idade (anos completos) e procedência (interior, capital ou outra) dos seus 36 funcionários da seção de orçamentos:
a. [10 pontos] Classifique as variáveis:
Número de filhos: \_\_\_\_
Grau de instrução: \_\_\_\_
Estado civil: \_\_\_\_
Procedência: \_\_\_\_
b. [12 pontos] Construa a tabela de frequências para a variável \mathrm{n}^{\circ} de filhos. Dados já ordenados abaixo:
0 0 0 1 1 1 2 2 3
0 0 0 1 1 2 2 2 3
0 0 0 1 1 2 2 2 3
0 0 0 1 1 2 2 3 5
Classes Freq. absoluta Freq. Rel. (%) Freq. Rel. acumulada (%)

Total

c. [12 pontos] Calcule a média, mediana e a moda do n^{\circ} de filhos e, sabendo que a variância desta variável é igual a 1,46 , calcule o seu coeficiente de variação:

Passo 1

O enunciado faz três pedidos:
  • (a) Classificar quatro variáveis: número de filhos, grau de instrução, estado civil e procedência.
  • (b) Construir a tabela de frequências para a variável “n.º de filhos” usando os 36 dados já ordenados.
  • (c) Calcular a média, a mediana, a moda do n.º de filhos e, sabendo que a variância é \,1,46, calcular o coeficiente de variação.
Informações dadas e relevantes:
  • Tamanho da amostra: \,n=36.
  • Dados ordenados (quatro linhas de 9 valores cada), totalizando 36 observações:
\begin{array}{lllllllll} 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 5 \end{array}
  • Variância da variável “n.º de filhos”: \,s^{2}=1,46.
A partir daqui eu vou construir o que o enunciado pede, passo a passo, explicando cada conceito e fórmula usada.

Passo 2

Classificação das variáveis — explicação dos conceitos (cada classificação vem com uma mini-aula):
  • Conceito rápido: variável quantitativa é numérica (medível), qualitativa é categórica (rótulos). Quantitativa pode ser discreta (valores inteiros separados) ou contínua (pode assumir qualquer valor numérico dentro de um intervalo). Variáveis qualitativas podem ser nominais (sem ordem natural) ou ordinais (há uma ordem entre categorias).
    Aplicando aos casos:
  • Número de filhos: é uma contagem inteira (0,1,2,…). Logo é uma variável quantitativa discreta.
  • Grau de instrução: tem categorias que geralmente são ordenadas (ex.: fundamental < médio < superior). Logo é qualitativa ordinal.
  • Estado civil: categorias sem ordem intrínseca (ex.: solteiro, casado, divorciado). Logo é qualitativa nominal.
  • Procedência: categorias sem ordem (ex.: interior, capital, outra). Logo é qualitativa nominal.

Passo 3

Construção da tabela de frequências — passo 1: contar as ocorrências (freqüência absoluta).
Vou contar quantas vezes aparece cada valor nas 36 observações (contagem feita diretamente sobre os dados ordenados):
  • Contagem de \,0: há 12 ocorrências.
  • Contagem de \,1: há 9 ocorrências.
  • Contagem de \,2: há 10 ocorrências.
  • Contagem de \,3: há 4 ocorrências.
  • Contagem de \,5: há 1 ocorrência.
Verificação rápida da soma das frequências absolutas:
12+9+10+4+1=36,
que confere com n=36.

Passo 4

Construção da tabela de frequências — passo 2: calcular as frequências relativas em percentagem.
Fórmula da frequência relativa em percentagem para uma classe i:
\text{Freq. Rel. (\%)}=\frac{\text{Freq. absoluta}_i}{n}\times 100\%.
Calculemos cada uma (usando n=36):
  • Para 0:
\frac{12}{36}= \frac{1}{3}\approx 0,3333\Rightarrow 33,3\%.
  • Para 1:
\frac{9}{36}=0,25\Rightarrow 25,0\%.
  • Para 2:
\frac{10}{36}\approx 0,27778\Rightarrow 27,8\%.
  • Para 3:
\frac{4}{36}\approx 0,11111\Rightarrow 11,1\%.
  • Para 5:
\frac{1}{36}\approx 0,02778\Rightarrow 2,8\%.
(Geralmente arredondo uma casa decimal em percentagens para manter clareza e fazer as somas baterem em 100{,}0\%.)

Passo 5

Construção da tabela de frequências — passo 3: calcular a frequência relativa acumulada (%).
A frequência relativa acumulada é a soma acumulada das percentagens até aquela classe. Vou acumular na ordem crescente dos valores:
  • Acumulada até 0: 33,3\%.
  • Acumulada até 1: 33,3\%+25,0\% = 58,3\%.
  • Acumulada até 2: 58,3\%+27,8\% = 86,1\%.
  • Acumulada até 3: 86,1\%+11,1\% = 97,2\%.
  • Acumulada até 5: 97,2\%+2,8\% = 100,0\%.

Passo 6

Apresentação final da tabela de frequências (resumo resultante). A tabela tem colunas: Classes, Freq. absoluta, Freq. Rel. (%), Freq. Rel. acumulada (%).
Linhas (em ordem crescente do número de filhos):
  • Classe 0: freq. absoluta 12; freq. rel. \,33,3\%; freq. rel. acum. \,33,3\%.
  • Classe 1: freq. absoluta 9; freq. rel. \,25,0\%; freq. rel. acum. \,58,3\%.
  • Classe 2: freq. absoluta 10; freq. rel. \,27,8\%; freq. rel. acum. \,86,1\%.
  • Classe 3: freq. absoluta 4; freq. rel. \,11,1\%; freq. rel. acum. \,97,2\%.
  • Classe 5: freq. absoluta 1; freq. rel. \,2,8\%; freq. rel. acum. \,100,0\%.
Total: freq. absoluta 36; freq. rel. \,100,0\%.

Passo 7

Cálculo da média — explicação e passos:
  • Fórmula da média amostral (média aritmética):
\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n},
onde \sum x_i é a soma de todos os valores observados e n é o número de observações.
Usando as frequências: \sum x_i = 0\cdot 12 + 1\cdot 9 + 2\cdot 10 + 3\cdot 4 + 5\cdot 1.
Calcule essa soma:
\sum x_i = 0 + 9 + 20 + 12 + 5 = 46.
Portanto
\bar{x}=\frac{46}{36}=\frac{23}{18}\approx 1,278.
Interpretação rápida: em média, há aproximadamente 1,28 filhos por funcionário na amostra.

Passo 8

Cálculo da mediana — explicação e passos:
  • Para uma amostra ordenada de tamanho n:
    • Se n é ímpar, a mediana é o valor na posição \frac{n+1}{2}.
    • Se n é par, a mediana é a média dos valores nas posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1.
Aqui n=36 (par). Precisamos das observações nas posições 18 e 19 (ordem crescente). Usando as frequências acumuladas:
  • As posições 1 a 12 correspondem a valor 0.
  • As posições 13 a 21 correspondem a valor 1.
Logo as posições 18 e 19 têm valor 1. Portanto
\text{mediana}= \frac{1+1}{2}=1.

Passo 9

Cálculo da moda — explicação e passos:
  • Moda é o valor observado com maior frequência absoluta.
    Das contagens:
\begin{aligned} \text{freq}(0)&=12,\\\ \text{freq}(1)&=9,\\\ \text{freq}(2)&=10,\\\ \text{freq}(3)&=4,\\\ \text{freq}(5)&=1. \end{aligned}
O maior valor entre essas frequências é 12 (para 0). Portanto a moda é 0 (ou seja, o valor modal é “0 filhos”).

Passo 10

Cálculo do coeficiente de variação — explicação e passos:
  • Primeiro, relação entre variância e desvio padrão:
s=\sqrt{s^{2}}.
Dada a variância \,s^{2}=1,46, temos
s=\sqrt{1,46}\approx 1,208.
  • Fórmula do coeficiente de variação (CV) em percentagem:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Usando \,s\approx 1,208 e \,\bar{x}\approx 1,27778 (ou \frac{23}{18}):
\text{CV}\approx \frac{1,208}{1,27778}\times 100\%\approx 94,6\%.
Interpretação: o desvio padrão é praticamente do mesmo tamanho que a média (CV elevado), ou seja, a variável “n.º de filhos” tem grande dispersão relativa à sua média nessa amostra.

Resposta

(a) Número de filhos: Quantitativa discreta; Grau de instrução: Qualitativa ordinal; Estado civil: Qualitativa nominal; Procedência: Qualitativa nominal.
(b) Tabela de frequências:
0 — Freq. absoluta 12; Freq. Rel. 33,3\%; Freq. Rel. acumulada 33,3\%
1 — Freq. absoluta 9; Freq. Rel. 25,0\%; Freq. Rel. acumulada 58,3\%
2 — Freq. absoluta 10; Freq. Rel. 27,8\%; Freq. Rel. acumulada 86,1\%
3 — Freq. absoluta 4; Freq. Rel. 11,1\%; Freq. Rel. acumulada 97,2\%
5 — Freq. absoluta 1; Freq. Rel. 2,8\%; Freq. Rel. acumulada 100,0\%
Total — Freq. absoluta 36; Freq. Rel. 100,0\%.
(c) Média \bar{x}=\dfrac{46}{36}=\dfrac{23}{18}\approx 1,278; Mediana =1; Moda =0; Coeficiente de variação \text{CV}\approx 94,6\%.

Exercícios relacionados