A companhia MB resolveu fazer uma pesquisa sobre seus funcionários a fim de buscar maneiras de melhorar o rendimento, satisfação e lealdade de seus funcionários. Para tal, coletou informações sobre o estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário (dado como fração do salário minimo), idade (anos completos) e procedência (interior, capital ou outra) dos seus 36 funcionários da seção de orçamentos:
a. [10 pontos] Classifique as variáveis:
Número de filhos:
Grau de instrução:
Estado civil:
Procedência:
b. [12 pontos] Construa a tabela de frequências para a variável
de filhos. Dados já ordenados abaixo:
0
0
0
1
1
1
2
2
3
0
0
0
1
1
2
2
2
3
0
0
0
1
1
2
2
2
3
0
0
0
1
1
2
2
3
5
Classes
Freq. absoluta
Freq. Rel. (%)
Freq. Rel. acumulada (%)
Total
c. [12 pontos] Calcule a média, mediana e a moda do
de filhos e, sabendo que a variância desta variável é igual a 1,46 , calcule o seu coeficiente de variação:
a. [10 pontos] Classifique as variáveis:
Grau de instrução:
Estado civil:
Procedência:
b. [12 pontos] Construa a tabela de frequências para a variável
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 5 |
| Classes | Freq. absoluta | Freq. Rel. (%) | Freq. Rel. acumulada (%) |
Passo 1
O enunciado faz três pedidos:
- (a) Classificar quatro variáveis: número de filhos, grau de instrução, estado civil e procedência.
- (b) Construir a tabela de frequências para a variável “n.º de filhos” usando os 36 dados já ordenados.
- (c) Calcular a média, a mediana, a moda do n.º de filhos e, sabendo que a variância é
, calcular o coeficiente de variação.
Informações dadas e relevantes:
- Tamanho da amostra:
. - Dados ordenados (quatro linhas de 9 valores cada), totalizando 36 observações:
- Variância da variável “n.º de filhos”:
.
A partir daqui eu vou construir o que o enunciado pede, passo a passo, explicando cada conceito e fórmula usada.
Passo 2
Classificação das variáveis — explicação dos conceitos (cada classificação vem com uma mini-aula):
- Conceito rápido: variável quantitativa é numérica (medível), qualitativa é categórica (rótulos). Quantitativa pode ser discreta (valores inteiros separados) ou contínua (pode assumir qualquer valor numérico dentro de um intervalo). Variáveis qualitativas podem ser nominais (sem ordem natural) ou ordinais (há uma ordem entre categorias).
Aplicando aos casos: - Número de filhos: é uma contagem inteira (0,1,2,…). Logo é uma variável quantitativa discreta.
- Grau de instrução: tem categorias que geralmente são ordenadas (ex.: fundamental < médio < superior). Logo é qualitativa ordinal.
- Estado civil: categorias sem ordem intrínseca (ex.: solteiro, casado, divorciado). Logo é qualitativa nominal.
- Procedência: categorias sem ordem (ex.: interior, capital, outra). Logo é qualitativa nominal.
Passo 3
Construção da tabela de frequências — passo 1: contar as ocorrências (freqüência absoluta).
Vou contar quantas vezes aparece cada valor nas 36 observações (contagem feita diretamente sobre os dados ordenados):
Vou contar quantas vezes aparece cada valor nas 36 observações (contagem feita diretamente sobre os dados ordenados):
- Contagem de
: há ocorrências. - Contagem de
: há ocorrências. - Contagem de
: há ocorrências. - Contagem de
: há ocorrências. - Contagem de
: há ocorrência.
Verificação rápida da soma das frequências absolutas:
que confere com
.
Passo 4
Construção da tabela de frequências — passo 2: calcular as frequências relativas em percentagem.
Fórmula da frequência relativa em percentagem para uma classe :
Fórmula da frequência relativa em percentagem para uma classe
Calculemos cada uma (usando
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Geralmente arredondo uma casa decimal em percentagens para manter clareza e fazer as somas baterem em
.)
Passo 5
Construção da tabela de frequências — passo 3: calcular a frequência relativa acumulada (%).
A frequência relativa acumulada é a soma acumulada das percentagens até aquela classe. Vou acumular na ordem crescente dos valores:
A frequência relativa acumulada é a soma acumulada das percentagens até aquela classe. Vou acumular na ordem crescente dos valores:
- Acumulada até
: . - Acumulada até
: . - Acumulada até
: . - Acumulada até
: . - Acumulada até
: .
Passo 6
Apresentação final da tabela de frequências (resumo resultante). A tabela tem colunas: Classes, Freq. absoluta, Freq. Rel. (%), Freq. Rel. acumulada (%).
Linhas (em ordem crescente do número de filhos):
- Classe
: freq. absoluta ; freq. rel. ; freq. rel. acum. . - Classe
: freq. absoluta ; freq. rel. ; freq. rel. acum. . - Classe
: freq. absoluta ; freq. rel. ; freq. rel. acum. . - Classe
: freq. absoluta ; freq. rel. ; freq. rel. acum. . - Classe
: freq. absoluta ; freq. rel. ; freq. rel. acum. .
Total: freq. absoluta
; freq. rel.
.
Passo 7
Cálculo da média — explicação e passos:
- Fórmula da média amostral (média aritmética):
onde
é a soma de todos os valores observados e
é o número de observações.
Usando as frequências:
.
Calcule essa soma:
Calcule essa soma:
Portanto
Interpretação rápida: em média, há aproximadamente
filhos por funcionário na amostra.
Passo 8
Cálculo da mediana — explicação e passos:
- Para uma amostra ordenada de tamanho
: - Se
é ímpar, a mediana é o valor na posição . - Se
é par, a mediana é a média dos valores nas posições e .
- Se
Aqui
(par). Precisamos das observações nas posições
e
(ordem crescente). Usando as frequências acumuladas:
- As posições
a correspondem a valor . - As posições
a correspondem a valor .
Logo as posições
e
têm valor
. Portanto
Passo 9
Cálculo da moda — explicação e passos:
- Moda é o valor observado com maior frequência absoluta.
Das contagens:
O maior valor entre essas frequências é
(para
). Portanto a moda é
(ou seja, o valor modal é “0 filhos”).
Passo 10
Cálculo do coeficiente de variação — explicação e passos:
- Primeiro, relação entre variância e desvio padrão:
Dada a variância
, temos
- Fórmula do coeficiente de variação (CV) em percentagem:
Usando
e
(ou
):
Interpretação: o desvio padrão é praticamente do mesmo tamanho que a média (CV elevado), ou seja, a variável “n.º de filhos” tem grande dispersão relativa à sua média nessa amostra.
Resposta
(a) Número de filhos: Quantitativa discreta; Grau de instrução: Qualitativa ordinal; Estado civil: Qualitativa nominal; Procedência: Qualitativa nominal.
(b) Tabela de frequências:
0 — Freq. absoluta ; Freq. Rel.
; Freq. Rel. acumulada
1 — Freq. absoluta ; Freq. Rel.
; Freq. Rel. acumulada
2 — Freq. absoluta ; Freq. Rel.
; Freq. Rel. acumulada
3 — Freq. absoluta ; Freq. Rel.
; Freq. Rel. acumulada
5 — Freq. absoluta ; Freq. Rel.
; Freq. Rel. acumulada
Total — Freq. absoluta ; Freq. Rel.
.
0 — Freq. absoluta
1 — Freq. absoluta
2 — Freq. absoluta
3 — Freq. absoluta
5 — Freq. absoluta
Total — Freq. absoluta
(c) Média
; Mediana
; Moda
; Coeficiente de variação
.