Exercício 28. Em certa fábrica de lâmpadas, três máquinas (A, B e C) fabricam, respectivamente, 30%, 25% e
da produção diária. Nesta fábrica, sabe-se que as taxas de produtos defeituosos são de
e
, respectivamente, para as máquinas
e C . De acordo com o responsável pela empresa, após o término da produção, as lâmpadas são armazenadas no galpão, em lotes diários, sem a anotação individual de procedência de cada lâmpada. Isto é, no armazém não se ter informação de qual máquina cada uma das lâmpadas foi produzida. Em um lote diário, qual é a probabilidade de sortear, ao acaso, uma lâmpada defeituosa? (Utilize 4 casas decimais) (R. 0.0158)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que está abaixo.
-
Três máquinas produzem frações da produção diária:
- Máquina A:
- Máquina B:
- Máquina C:
- Máquina A:
-
As taxas de produtos defeituosos (dadas por máquina) são:
- Máquina A:
- Máquina B:
- Máquina C:
- Máquina A:
-
Pergunta: Em um lote diário, qual é a probabilidade de sortear, ao acaso, uma lâmpada defeituosa? (Resposta com 4 casas decimais.)
Passo 2
Vamos organizar os eventos e a ideia usada para calcular a probabilidade pedida (a explicação é bem passo a passo, tipo manual para a prova).
-
Definimos os eventos:
-
: a lâmpada sorteada é defeituosa. -
: a lâmpada veio da máquina A. -
: a lâmpada veio da máquina B. -
: a lâmpada veio da máquina C.
-
-
Observação importante (por que isso importa): as máquinas formam uma partição das possibilidades de origem da lâmpada — isto é, cada lâmpada necessariamente veio de exatamente uma das máquinas A, B ou C, e esses eventos são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço amostral.
-
Fórmula que vamos usar (explicada): quando temos uma partição do espaço amostral (
) e queremos a probabilidade de , podemos somar as probabilidades de ocorrer em cada caso ponderadas pela probabilidade daquele caso. Em símbolos:
Aqui:
-
é a probabilidade de escolher uma lâmpada que veio da máquina A (ou seja, a fração da produção de A). -
é a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa sabendo que veio da A (a taxa de defeito da A). - E o mesmo vale para B e C.
Passo 3
Converter as porcentagens fornecidas para probabilidades em forma decimal (usando vírgula como separador decimal):
-
Probabilidades de origem:
-
(porque ) -
-
-
-
Probabilidades condicionais (taxas de defeito):
-
(porque ) -
(porque ) -
(porque )
-
Passo 4
Calcular cada termo da soma da fórmula:
- Para A:
- Para B:
(Se quiser ver a conta:
.)
- Para C:
Passo 5
Somar os termos para obter
:
Agora arredondamento para 4 casas decimais: temos
. Para 4 casas decimais olhamos a quinta casa (é um
), então arredondamos a quarta casa
para
. Assim o valor com 4 casas decimais é
.
Passo 6
Interpretação curta e dica para a prova: a resposta
significa que, em média, cerca de
das lâmpadas do lote são defeituosas. Na prova, identifique sempre se os dados formam uma partição (aqui: máquinas) e aplique a soma ponderada das probabilidades condicionais — é um padrão recorrente em questões desse tipo.