Exercício 28. Em certa fábrica de lâmpadas, três máquinas (A, B e C) fabricam, respectivamente, 30%, 25% e 45 \% da produção diária. Nesta fábrica, sabe-se que as taxas de produtos defeituosos são de 1 \%, 1.5 \% e 2 \%, respectivamente, para as máquinas \mathrm{A}, \mathrm{B} e C . De acordo com o responsável pela empresa, após o término da produção, as lâmpadas são armazenadas no galpão, em lotes diários, sem a anotação individual de procedência de cada lâmpada. Isto é, no armazém não se ter informação de qual máquina cada uma das lâmpadas foi produzida. Em um lote diário, qual é a probabilidade de sortear, ao acaso, uma lâmpada defeituosa? (Utilize 4 casas decimais) (R. 0.0158)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que está abaixo.
  • Três máquinas produzem frações da produção diária:
    • Máquina A: 30\%
    • Máquina B: 25\%
    • Máquina C: 45\%
  • As taxas de produtos defeituosos (dadas por máquina) são:
    • Máquina A: 1\%
    • Máquina B: 1{,}5\%
    • Máquina C: 2\%
  • Pergunta: Em um lote diário, qual é a probabilidade de sortear, ao acaso, uma lâmpada defeituosa? (Resposta com 4 casas decimais.)

Passo 2

Vamos organizar os eventos e a ideia usada para calcular a probabilidade pedida (a explicação é bem passo a passo, tipo manual para a prova).
  • Definimos os eventos:
    • D: a lâmpada sorteada é defeituosa.
    • A: a lâmpada veio da máquina A.
    • B: a lâmpada veio da máquina B.
    • C: a lâmpada veio da máquina C.
  • Observação importante (por que isso importa): as máquinas formam uma partição das possibilidades de origem da lâmpada — isto é, cada lâmpada necessariamente veio de exatamente uma das máquinas A, B ou C, e esses eventos são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço amostral.
  • Fórmula que vamos usar (explicada): quando temos uma partição do espaço amostral ( A,B,C) e queremos a probabilidade de D, podemos somar as probabilidades de ocorrer D em cada caso ponderadas pela probabilidade daquele caso. Em símbolos:
P(D)=P(A)\,P(D\mid A)+P(B)\,P(D\mid B)+P\text{(C)}\,P(D\mid C).
Aqui:
  • P(A) é a probabilidade de escolher uma lâmpada que veio da máquina A (ou seja, a fração da produção de A).
  • P(D\mid A) é a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa sabendo que veio da A (a taxa de defeito da A).
  • E o mesmo vale para B e C.

Passo 3

Converter as porcentagens fornecidas para probabilidades em forma decimal (usando vírgula como separador decimal):
  • Probabilidades de origem:
    • P(A)=0,30 (porque 30\%=0,30)
    • P(B)=0,25
    • P\text{(C)}=0,45
  • Probabilidades condicionais (taxas de defeito):
    • P(D\mid A)=0,01 (porque 1\%=0,01)
    • P(D\mid B)=0,015 (porque 1{,}5\%=0,015)
    • P(D\mid C)=0,02 (porque 2\%=0,02)

Passo 4

Calcular cada termo da soma da fórmula:
  • Para A:
P(A)\,P(D\mid A)=0,30\cdot 0,01=0,003.
  • Para B:
P(B)\,P(D\mid B)=0,25\cdot 0,015=0,00375.
(Se quiser ver a conta: 0{,}25\cdot 0{,}015 = 25\cdot 15 \times 10^{-4} = 375 \times 10^{-4} = 0{,}00375.)
  • Para C:
P\text{(C)}\,P(D\mid C)=0,45\cdot 0,02=0,009.

Passo 5

Somar os termos para obter P(D):
P(D)=0,003+0,00375+0,009=0,01575.
Agora arredondamento para 4 casas decimais: temos 0,01575. Para 4 casas decimais olhamos a quinta casa (é um 5), então arredondamos a quarta casa 7 para 8. Assim o valor com 4 casas decimais é 0,0158.

Passo 6

Interpretação curta e dica para a prova: a resposta 0,0158 significa que, em média, cerca de 1{,}58\% das lâmpadas do lote são defeituosas. Na prova, identifique sempre se os dados formam uma partição (aqui: máquinas) e aplique a soma ponderada das probabilidades condicionais — é um padrão recorrente em questões desse tipo.

Resposta

0,0158

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