Exercício 27. Pesquisou em uma população de homens os quais forma classificados quanto ao hábito de fumar (Sim ou Não) e doenças respiratórias crônicas (Sim ou Não). Nesta população, sabe-se 5 \% dos homens tem doenças respiratórias e não fumantes, 15 \% tem doenças respiratórias e são fumantes, 50 \% não tem doenças respiratórias e não fumantes e 30 \% não tem doenças respiratórias e são fumantes. Ao escolher, aleatoriamente, um homem, qual é a probabilidade dele ter doenças respiratória crônica dado ser fumante? (R. 0.3333)

Passo 1

O enunciado pede: qual é a probabilidade de um homem ter doença respiratória crônica dado que ele é fumante?
Informações fornecidas (vou listar exatamente os dados do enunciado):
\;5\% dos homens têm doença respiratória e não são fumantes.
\;15\% têm doença respiratória e são fumantes.
\;50\% não têm doença respiratória e não são fumantes.
\;30\% não têm doença respiratória e são fumantes.
A pergunta é: encontrar P(\text{doença} \mid \text{fumante})ç.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta): a probabilidade condicional de um evento A dado um evento B é a probabilidade de ambos ocorrerem dividida pela probabilidade de B. Em símbolos:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui P(A\cap B) é a probabilidade dos dois eventos ocorrerem juntos, e P(B) é a probabilidade do evento condicionante. Essa fórmula faz sentido intuitivo: entre todos os casos em que B ocorre, qual fração tem também A.

Passo 3

Identificação dos eventos e tradução dos dados:
Defina os eventos
\;D= “ter doença respiratória crônica” e \;F= “ser fumante”.
Dos dados extraímos as probabilidades conjuntas:
P(D\cap F)=15\%,\qquad P(D\cap F^c)=5\%,
P(D^c\cap F)=30\%,\qquad P(D^c\cap F^c)=50\%.
Verificação rápida: a soma das quatro probabilidades dá 15\%+5\%+30\%+50\%=100\%, ou seja, os dados estão consistentes.

Passo 4

Calcular P(F), a probabilidade de ser fumante (denominador da fórmula):
P(F)=P(D\cap F)+P(D^c\cap F)=15\%+30\%=45\%.
Explicação curta: entre todos os homens, os fumantes são aqueles que têm doença e fumam ( 15\%) mais os que não têm doença e fumam ( 30\%), totalizando 45\%.

Passo 5

Aplicar a fórmula da probabilidade condicional:
P(D\mid F)=\frac{P(D\cap F)}{P(F)}=\frac{15\%}{45\%}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
Convertendo para decimal periódico:
\frac{1}{3}=0,3333\ldots
Intuição final: entre os 45\% de homens que são fumantes, 15\% têm doença — ou seja, 15 em 45, que é um terço.

Resposta

0,3333

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