Uma companhia de seguros acredita que pessoas podem ser divididas em duas classes: aquelas que são propensas a acidentes e aquelas que não são. A estatistica da companhia mostra que uma pessoa propensa a acidentes tem probabilidade de 0,4 de sofrer um acidente dentro de um periodo fixo de 1 ano, enquanto essa probabilidade cai para 0,2 no caso de uma pessoa não propensa a acidentes: Suponha que 30 % da população é propensa a acidentes.
Suponha que um novo segurado sofra um acidente no período de um ano após a compra da apólice. Qual é a probabilidade de que ele seja propenso a acidentes?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma seguradora separa as pessoas em duas turmas: “propensas a acidentes” e “não propensas”.
Eles sabem que
  • Se a pessoa for propensa, a chance de acidente em 1 ano é 0,4.
  • Se não for propensa, a chance é 0,2.
  • E 30% da galera é propensa.
O que queremos: dado que um segurado sofreu um acidente, qual a probabilidade de ele ser do grupo “propenso”?
Conteúdo envolvido: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar da Lei da Probabilidade Total e do Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os eventos:
P = “ser propenso a acidentes”
Pᶜ = “não ser propenso”
A = “sofrer acidente em 1 ano”
Dados:
P§ = 0,3
P(Pᶜ) = 1 – 0,3 = 0,7
P(A|P) = 0,4
P(A|Pᶜ) = 0,2
O que pedem é P(P|A).

Passo 3

Aplicando o Teorema de Bayes:
P(P mid A) = P(A mid P),P(P)P(A)
Mas não temos P(A) direto. A gente calcula com a Lei da Probabilidade Total:
P(A) = P(Amid P),P(P) + P(Amid Pᶜ),P(Pᶜ)

Passo 4

Calcuala P(A):
P(A) = 0,4 times 0,3 ;+; 0,2 times 0,7 = 0,12 ;+; 0,14 = 0,26
Agora, põe tudo no Bayes:
P(P mid A) = 0,4 times 0,30,26 = 0,120,26 = 1226 = 613 approx 0,4615

Resposta

A probabilidade de que o segurado seja propenso a acidentes, dado que ele sofreu um no ano, é
P(Pmid A) = 613 approx 0,4615 ,(ou 46,15%)

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