Uma companhia de seguros acredita que pessoas podem ser divididas em duas classes: aquelas que são propensas a acidentes e aquelas que não são. A estatistica da companhia mostra que uma pessoa propensa a acidentes tem probabilidade de 0,4 de sofrer um acidente dentro de um periodo fixo de 1 ano, enquanto essa probabilidade cai para 0,2 no caso de uma pessoa não propensa a acidentes: Suponha que 30 % da população é propensa a acidentes.
Qual é a probabilidade condicional de que um novo segurado sofra um acidente em seu segundo ano de contrato, dado que ele ou ela tenha sofrido um acidente no primeiro ano?
[Ajuda: Utilize a fórmula da questão 1.a)]

Passo 1

Beleza, bora lá! A questão fala de gente “propensa” a acidentes (30% da população) versus “não propensa” (70%). Quem é propenso tem 40% de chance de um acidente num ano, quem não é tem 20%. A pergunta é: dado que o segurado já sofreu um acidente no primeiro ano, qual a chance de ele também sofrer no segundo?
Conteúdo que vamos usar: probabilidade condicional, fórmula da probabilidade total e independência condicional (acidentes em anos diferentes são independentes, desde que você saiba a classe da pessoa).

Passo 2

Primeiro a gente calcula a probabilidade de um acidente no primeiro ano, P(A1) = P(E),P(A1mid E) ;+; P(E^c),P(A1mid E^c) , usando a fórmula da probabilidade total:
P(A1)=0,3cdot0,4 + 0,7cdot0,2 = 0,12 + 0,14 = 0,26
onde
= “ser propenso” ( )
= “não ser propenso” ( )
, .
Então

Passo 3

Agora a probabilidade de ter acidente no 1º e no 2º ano, P(A1cap A2) = P(E),P(A1mid E),P(A2mid E) + P(E^c),P(A1mid E^c),P(A2mid E^c) . Usamos de novo a probabilidade total e a independência entre anos (dado o tipo):
P(A1cap A2) = 0,3cdot0,4cdot0,4 ;+;0,7cdot0,2cdot0,2 = 0,048 + 0,028 = 0,076
Como = 0,4 e , dá

Passo 4

Por fim, a probabilidade condicional que queremos é
P(A2 mid A1) = P(A1cap A2)P(A1) = 0,0760,26

Resposta

P(A2 mid A1) = 0,0760,26 approx 0,2923(ou 29,23%)

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