Considere três eventos
e
no mesmo espaço de probabilidade com
Suponha ainda que:
Assuma agora que os eventos
e
são (coletivamente) independentes.
iii) Os eventos
e
são também independentes? Mostre.
iii) Os eventos
Passo 1
Beleza, então o problema é o seguinte: temos três eventos
,
e
que já sabemos serem coletivamente independentes. A pergunta é se o evento
e o evento
também são independentes.
Conteúdo que a gente vai usar:
Conteúdo que a gente vai usar:
- Definição de independência entre dois eventos.
- Fórmula de probabilidade de união e interseção de dois eventos.
- Propriedade de multiplicação de probabilidades para eventos independentes.
Passo 2
Definição básica: dois eventos
e
são independentes se, e só se,
Então vamos ver se vale isso para
e
.
Passo 3
Primeiro, precisamos de
. Lembra da fórmula
Como
e
são independentes, vale
Logo
Passo 4
Agora
. A gente usa que
e de novo a fórmula da união:
Como
são independentes em conjunto, vale:
Substituindo tudo:
Passo 5
Para ver se
e
são independentes, comparamos
O lado direito é
Repare que é exatamente a mesma expressão que encontramos para
.)
Resposta
Como
concluímos que
e
são independentes.