Considere três eventos A, B e C no mesmo espaço de probabilidade com
P(A)=2 / 5, P(B)=1 / 4 e P(C)=1 / 2
Suponha ainda que:
P(A cap B)=x, P(B cup C)=y e P(C-A)=z
Assuma agora que os eventos A, B e C são (coletivamente) independentes.
iii) Os eventos (A cup B) e C são também independentes? Mostre.

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: temos três eventos , e que já sabemos serem coletivamente independentes. A pergunta é se o evento e o evento também são independentes.
Conteúdo que a gente vai usar:
  • Definição de independência entre dois eventos.
  • Fórmula de probabilidade de união e interseção de dois eventos.
  • Propriedade de multiplicação de probabilidades para eventos independentes.

Passo 2

Definição básica: dois eventos P(Xcap Y) ;=; P(X);cdot;P(Y) e são independentes se, e só se,
Então vamos ver se vale isso para e .

Passo 3

Primeiro, precisamos de P(Acup B) ;=; P(A) + P(B) ;-; P(Acap B) . Lembra da fórmula
P(Acap B) ;=; P(A),P(B)
Como P(Acup B) ;=; P(A) + P(B) - P(A),P(B) e são independentes, vale
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Passo 4

Agora (Acup B)cap C ;=; (Acap C);cup;(Bcap C), . A gente usa que
Pl((Acap C)cup(Bcap C)r) = P(Acap C);+;P(Bcap C);-;Pl(Acap Bcap Cr)
e de novo a fórmula da união:
P(Acap C)=P(A),P(C), P(Bcap C)=P(B),P(C), P(Acap Bcap C)=P(A),P(B),P(C)
Como Pl((Acup B)cap Cr) = P(A),P(C) + P(B),P(C) - P(A),P(B),P(C) são independentes em conjunto, vale:
Substituindo tudo:

Passo 5

Para ver se Pl((Acup B)cap Cr) com P(Acup B),P(C) e P(Acup B),P(C) = l(P(A)+P(B)-P(A),P(B)r),P(C) = P(A),P(C) + P(B),P(C) - P(A),P(B),P(C) são independentes, comparamos
O lado direito é
Repare que é exatamente a mesma expressão que encontramos para
.)

Resposta

Como
Pl((Acup B)cap Cr) = P(Acup B),P(C),
concluímos que e são independentes.

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