Uma variável aleatória tem sua distribuição representada pela seguinte função:
sendo a e b constantes reais.
Nos seguintes dois casos (independentes entre si), responda os itens de a) até e):
CASO I: Se b=1 e P(X=b)=0.
CASO II: Se b neq 1.
Determine a Função de Distribuição de X.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade de probabilidade g(x) dada por
com F(x);=;integral-infty^,xg(t),dt e constantes. A tarefa é encontrar a função de distribuição acumulada
em dois cenários:
– Caso I: e “não existe massa em ” (ou seja, ).
– Caso II: .
Passo 2
Como não há massa em integral-3/2^0a,dt;+!!integral0^12a,dt;+!!integral1^3/2l(a+tfrac13r),dt ;=;1 , a densidade na cauda tfrac32,a;+;2a;+;tfrac12l(a+tfrac13r);=;1 longrightarrow tfrac32a+2a+tfrac12a+tfrac16=1 longrightarrow 4a+tfrac16=1 longrightarrow a=tfrac524 não contribute ao normaliza– mento.
Agora montamos pedaço a pedaço, sabendo que para a total é 1:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 3
Aqui não impomos F(x)= 0, & x<-tfrac32, a,(x+tfrac32), & -tfrac32<= x<0, 3a2+2a,x, & 0<= x<1, 3a2+2acdot1+(a+tfrac13)(x-1), & 1<= x=tfrac32 , e deixamos a densidade F(x)=Fl(3/2^-r)+b,(x-tfrac32), na cauda. O resto das contas de normalização falha (a integral da cauda diverge, a menos que ), mas matematicamente a CDF formalmente é
ou seja, exatamente os mesmos trechos até , e depois