Uma variável aleatória X tem sua distribuição representada pela seguinte função:
g(x)=c 0, se x<-3 / 2 ; a, 2 a, se -3 / 2 <= x<0 ; a+1 / 3, se 1 <= x<3 / 2 b, se x >= 3 / 2
sendo a e b constantes reais.
Nos seguintes dois casos (independentes entre si), responda os itens de a) até e):
CASO I: Se b=1 e P(X=b)=0.
CASO II: Se b neq 1.
Determine a Função de Distribuição de X.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade de probabilidade g(x) dada por
g(x)= 0, & x<-tfrac32, a, & -tfrac32<= x<0, 2a, & 0<= x<1, a+tfrac13, & 1<= x=tfrac32,
com F(x);=;integral-infty^,xg(t),dt e constantes. A tarefa é encontrar a função de distribuição acumulada
em dois cenários:
– Caso I: e “não existe massa em ” (ou seja, ).
– Caso II: .

Passo 2

  1. Como não há massa em integral-3/2^0a,dt;+!!integral0^12a,dt;+!!integral1^3/2l(a+tfrac13r),dt ;=;1 , a densidade na cauda tfrac32,a;+;2a;+;tfrac12l(a+tfrac13r);=;1 longrightarrow tfrac32a+2a+tfrac12a+tfrac16=1 longrightarrow 4a+tfrac16=1 longrightarrow a=tfrac524 não contribute ao normaliza– mento.
  2. Normalização só nos três primeiros trechos:
F(x)=0
Calcule cada integral:
  • F(x)=integral-3/2^xa,dt =a,(x+3/2) =524,l(x+tfrac32r) .
  • F(x)= underbracetfrac524cdottfrac32F(0^-);+; integral0^x2a,dt =516+2cdot524,x =516+512,x .
  • F(x)= underbracel(516+512cdot1r)F(1^-)=3548 ;+; integral1^xl(a+tfrac13r),dt =3548+l(524+13r),(x-1) =3548+1324(x-1) .
Logo
F(x)=1
  1. Agora montamos pedaço a pedaço, sabendo que para a total é 1:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 3

Aqui não impomos F(x)= 0, & x<-tfrac32, a,(x+tfrac32), & -tfrac32<= x<0, 3a2+2a,x, & 0<= x<1, 3a2+2acdot1+(a+tfrac13)(x-1), & 1<= x=tfrac32 , e deixamos a densidade F(x)=Fl(3/2^-r)+b,(x-tfrac32), na cauda. O resto das contas de normalização falha (a integral da cauda diverge, a menos que ), mas matematicamente a CDF formalmente é
ou seja, exatamente os mesmos trechos até , e depois
com .

Resposta

Caso I ( F(x)= 0, & x<-tfrac32,[6pt] dfrac524,l(x+tfrac32r), & -tfrac32<= x<0,[6pt] dfrac516+dfrac512,x, & 0<= x<1,[6pt] dfrac3548+dfrac1324,(x-1), & 1<= x=tfrac32 e F(x)= 0, & x<-tfrac32,[4pt] a,(x+tfrac32), & -tfrac32<= x<0,[4pt] dfrac3a2+2a,x, & 0<= x<1,[4pt] dfrac3a2+2acdot1+(a+tfrac13)(x-1), & 1<= x=tfrac32 ):
Caso II ( ):

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