Uma companhia de seguros classifica seus clientes de acordo com seu histórico de acidentes (do cliente). Um cliente que não tenha tido nenhum acidente nos últimos dois anos é um cliente Lambda. Clientes que tenham tido acidentes em ambos os anos é um cliente C. Clientes que tenham tido acidente em somente um dos últimos dois anos são clientes B, sendo que se o acidente foi no último ano ele é um cliente B^-, se foi no penúltimo ele é um cliente B^+. Um cliente que tenha tido um acidente no último ano tem 10 % de chance de ter um acidente no ano corrente. Se o cliente não tiver tido nenhum acidente no último ano ele tem 3 % de chance de ter um acidente no ano corrente.
(a) Modele o problema como uma cadeia de Markov e construa a matriz de transição;
(b) Mostre que a cadeia de Markov em questão é fortemente ergódica.

Passo 1

O enunciado descreve uma classificação que depende de ter tido acidente nos últimos dois anos, o que sugere modelar a evolução ano a ano como uma cadeia de Markov de quatro estados:
Lambda (nenhum acidente nos dois anos), B^- (acidente só no último ano), B^+ (acidente só no penúltimo ano) e C (acidentes em ambos os anos).
Vamos (a) montar a matriz de transição ano a ano e (b) mostrar que a cadeia é fortemente ergódica.

Passo 2

Em cada ano, o “novo” estado resulta de apagar o histórico de há dois anos, deslocar o histórico de há um ano para penúltimo e registrar se houve acidente neste ano. A probabilidade de acidente só depende de ter havido acidente no último ano:
Pr(acidentemid tinha acidente ano passado)=0,10,
Pr(acidentemid não tinha ano passado)=0,03ã.

Passo 3

Para cada estado atual calculamos as transições:
  1. De Lambda (último ano sem acidente):
    Pr(Lambdato B^-)=0,03,
    Pr(Lambdato Lambda)=0,97.
  2. De B^- (último ano com acidente):
    Pr(B^-to C)=0,10,
    Pr(B^-to B^+)=0,90.
  3. De B^+ (penúltimo ano com acidente, último sem):
    Pr(B^+to B^-)=0,03,
    Pr(B^+to Lambda)=0,97.
  4. De C (ambos anos com acidente): igual a B^- pois o último ano teve acidente:
    Pr(Cto C)=0,10,
    Pr(Cto B^+)=0,90.

Passo 4

Na ordem de estados Lambda,B^-,B^+,C, a matriz de transição P é
P = 0,97 & 0,03 & 0 & 0 0 & 0 & 0,90 & 0,10 0,97 & 0,03 & 0 & 0 0 & 0 & 0,90 & 0,10

Passo 5

Para forte ergodicidade precisamos irreducibilidade e aperiodicidade.
– Irreducibilidade: de qualquer estado é possível, em um ou dois passos, chegar a qualquer outro (por exemplo, alternando acidentes e não acidentes obtemos todos os históricos).
– Aperiodicidade: há auto-laço em Lambda com PLambdatoLambda=0,97>0, logo o período de Lambda é 1 e, sendo a cadeia irreduzível, todos os estados têm período 1.

Passo 6

Num espaço finito, irreduzível e aperiódico, a cadeia é fortemente ergódica: existe distribuição estacionária única e a distribuição de estados converge a ela independentemente da condição inicial.

Resposta

A cadeia de Markov tem estados Lambda,B^-,B^+,C e matriz de transição
P = 0,97 & 0,03 & 0 & 0 0 & 0 & 0,90 & 0,10 0,97 & 0,03 & 0 & 0 0 & 0 & 0,90 & 0,10
Como mostramos irreducibilidade e aperiodicidade, a cadeia é fortemente ergódica.

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