Uma companhia de seguros classifica seus clientes de acordo com seu histórico de acidentes (do cliente). Um cliente que não tenha tido nenhum acidente nos últimos dois anos é um cliente . Clientes que tenham tido acidentes em ambos os anos é um cliente C. Clientes que tenham tido acidente em somente um dos últimos dois anos são clientes B, sendo que se o acidente foi no último ano ele é um cliente , se foi no penúltimo ele é um cliente . Um cliente que tenha tido um acidente no último ano tem de chance de ter um acidente no ano corrente. Se o cliente não tiver tido nenhum acidente no último ano ele tem de chance de ter um acidente no ano corrente.
(a) Modele o problema como uma cadeia de Markov e construa a matriz de transição;
(b) Mostre que a cadeia de Markov em questão é fortemente ergódica.
Passo 1
O enunciado descreve uma classificação que depende de ter tido acidente nos últimos dois anos, o que sugere modelar a evolução ano a ano como uma cadeia de Markov de quatro estados: (nenhum acidente nos dois anos), (acidente só no último ano), (acidente só no penúltimo ano) e (acidentes em ambos os anos).
Vamos (a) montar a matriz de transição ano a ano e (b) mostrar que a cadeia é fortemente ergódica.
Passo 2
Em cada ano, o “novo” estado resulta de apagar o histórico de há dois anos, deslocar o histórico de há um ano para penúltimo e registrar se houve acidente neste ano. A probabilidade de acidente só depende de ter havido acidente no último ano: , .
Passo 3
Para cada estado atual calculamos as transições:
De (último ano sem acidente): , .
De (último ano com acidente): , .
De (penúltimo ano com acidente, último sem): , .
De (ambos anos com acidente): igual a pois o último ano teve acidente: , .
Passo 4
Na ordem de estados , a matriz de transição é
Passo 5
Para forte ergodicidade precisamos irreducibilidade e aperiodicidade.
– Irreducibilidade: de qualquer estado é possível, em um ou dois passos, chegar a qualquer outro (por exemplo, alternando acidentes e não acidentes obtemos todos os históricos).
– Aperiodicidade: há auto-laço em Lambda com PLambdatoLambda=0,97>0, logo o período de Lambda é 1 e, sendo a cadeia irreduzível, todos os estados têm período 1.
Passo 6
Num espaço finito, irreduzível e aperiódico, a cadeia é fortemente ergódica: existe distribuição estacionária única e a distribuição de estados converge a ela independentemente da condição inicial.
Resposta
A cadeia de Markov tem estados Lambda,B^-,B^+,C e matriz de transição