Uma festa começará às 20 horas. Seja X o instante de chegada e Y o tempo em que a pessoa permanece na festa, ambos expressos em horas, sendo X medido a partir de 20 horas. Suponha que a distribuição conjunta de X e Y seja dada por fX, Y(x, y)=c34 x, se 0<x<2 e 0<y<2-x 0, caso contrário á.
a) Calcule a probabilidade de que a pessoa saia da festa depois das 21 horas.
b) Se uma pessoa chegar na festa às 20:30 horas, qual é probabilidade de que ela saia antes de 21:30?
c) Qual é o tempo esperado de permanência na festa?

Passo 1

O enunciado define duas variáveis aleatórias contínuas:
Queremos calcular:
a) , pois chegar às 20:30 é e sair antes de 21:30 é ;
c) .

Passo 2

Para (a), usamos
Pr(X+Y>1) =integral duplax+y>1fX,Y(x,y),dy,dx
No suporte temos dois casos:
  1. Se 0<x<1, então 1-x>0 e yin(1-x,,2-x).
  2. Se 1<x<2, então 1-x<=0 e yin(0,,2-x).
Logo
Pr(X+Y>1) =integral0^1integral1-x^2-x34x,dy,dx +integral1^2integral0^2-x34x,dy,dx

Passo 3

Calculemos as integrais:
Para 0<x<1: integral1-x^2-x34x,dy =34xl[(2-x)-(1-x)r] =34xcdot1 =34x.
Então
integral0^134x,dx =34cdotx^22|0^1 =38
Para 1<x<2: integral0^2-x34x,dy =34x,(2-x).
Então
integral1^234x(2-x),dx =34integral1^2(2x-x^2),dx =34l[x^2-x^33r]1^2 =12
Somando os dois resultados:
Pr(X+Y>1)=38+12=78

Passo 4

Para (b), queremos Pr(Y<1mid X=0,5). Primeiro obtemos a densidade marginal de X:
fX(x) =integral0^2-x34x,dy =34x,(2-x)
Em x=0,5:
fX(0,5) =34cdot0,5,(2-0,5) =916
A densidade condicional é
fYmid X(ymid0,5) =fX,Y(0,5,y)fX(0,5) =34cdot0,5916 =tfrac38tfrac916 =23
Como Y varia de 0 a 2-0,5=1,5, temos
Pr(Y<1mid X=0,5) =integral0^1fYmid X(ymid0,5),dy =integral0^123,dy =23

Passo 5

Para (c), o tempo esperado de permanência é
E[Y] =integral dupla y,fX,Y(x,y),dy,dx =integral0^2integral0^2-xy,34x,dy,dx
Calcule a integral interna:
integral0^2-xy,dy =(2-x)^22
Logo
E[Y] =34integral0^2xcdot(2-x)^22,dx =38integral0^2x(4-4x+x^2),dx =38integral0^2(4x-4x^2+x^3),dx
Calculando:
integral0^2(4x-4x^2+x^3),dx =l[2x^2-4x^33+x^44r]0^2 =43
Então
E[Y] =38cdot43 =12 (hora)

Resposta

a) 78
b) 23
c) E[Y]=12 hora.

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