Um sistema de monitoramento pode ser modelado por um processo estocástico de Markov, de parâmetros e estados discretos (cadeia de Markov). Para cada instante (discreto) de tempo, este processo tem três estados possíveis: 1 (operando), 2 (em stand by) e 3 (em falha). Sua matriz de transição de estados (obtidas por histórico) é descrita a seguir:
P=(lll 0,8 & 0,1 & 0,1 0,7 & 0,2 & 0,1 0,3 & 0,4 & 0,3 )
(a) Admitindo que inicialmente o processo esteja em estado de operação, quais as probabilidades do processo estará em cada um dos possíveis estados após dois instantes de tempo?
(b) Apresente cada passo necessário para garantir que essa cadeia é fortemente ergódica.
(c) Obtenha a distribuição invariante da cadeia.

Passo 1

O enunciado trata de uma cadeia de Markov em tempo discreto com espaço de estados 1,2,3 (1=operando, 2=stand by, 3=falha) e matriz de transição
P = 0.8 & 0.1 & 0.1 0.7 & 0.2 & 0.1 0.3 & 0.4 & 0.3
Precisamos (a) calcular a distribuição após dois passos partindo de 1, (b) mostrar que a cadeia é fortemente ergódica e (c) obter sua distribuição invariante.

Passo 2

Para achar a distribuição após dois passos, primeiro calculamos
P^2 = P times P
Fazendo a multiplicação de matrizes obtemos
P^2 = 0.74 & 0.14 & 0.12 0.73 & 0.15 & 0.12 0.61 & 0.23 & 0.16

Passo 3

Como a distribuição inicial é pi^(0)=(1,0,0), a distribuição em dois passos é
pi^(2) = pi^(0),P^2 = (1,0,0), 0.74 & 0.14 & 0.12 0.73 & 0.15 & 0.12 0.61 & 0.23 & 0.16 = (0.74,;0.14,;0.12)

Passo 4

Para ser fortemente ergódica, a cadeia deve ser irreducível e positiva recorrente.
Observamos que em P^2 todos os elementos são positivos, isto é, para qualquer par de estados i,j existe probabilidade pij^(2)>0 de ir de i a j em dois passos. Logo a cadeia é irreducível e, por ter número finito de estados, é automaticamente positiva recorrente.

Passo 5

A cadeia é aperiodic, pois já em P o elemento p11=0.8>0 garante que o estado 1 tem auto-retorno em um passo, portanto seu período é 1. Num sistema irreducível, todos os estados têm o mesmo período, então a cadeia inteira é aperiodic.

Passo 6

Como a cadeia é finita, irreducível, positiva recorrente e aperiodic, concluímos que ela é fortemente ergódica: existe distribuição limite única e pi^(n)topi para qualquer pi^(0).

Passo 7

A distribuição invariante pi=(pi1,pi2,pi3) satisfaz
pi = pi,P, pi1+pi2+pi3=1
Isto leva ao sistema
pi1 = 0.8pi1 + 0.7pi2 + 0.3pi3, pi2 = 0.1pi1 + 0.2pi2 + 0.4pi3, pi1+pi2+pi3=1
Resolvendo, obtemos
pi1 = tfrac1318approx0.7222, pi2 = tfrac1172approx0.1528, pi3 = tfrac18=0.125

Resposta

(a) (0.74,;0.14,;0.12).
(b) A cadeia é finita, irreducível (todos os pij^(2)>0) e aperiodic ( p11>0), logo é fortemente ergódica.
(c) pi=l(tfrac1318,;tfrac1172,;tfrac18r).

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