Seja
a matriz de transição de uma cadeia de Markov. Mostre que se todos os elementos da primeira linha e da primeira coluna de
são maiores que zero então a cadeia é irredutível e aperiódica.
Passo 1
O enunciado considera uma cadeia de Markov com matriz de transição
. Queremos mostrar dois fatos:
- A cadeia é irredutível (todos os estados comunicam entre si).
- A cadeia é aperiódica (o período comum dos estados é 1).
Usaremos a hipótese de que
e
Passo 2
(Prova de irredutibilidade)
Para mostrar que qualquer estado comunica com qualquer estado
, basta exibir um
tal que
. Note que para
Para mostrar que qualquer estado
Pela hipótese,
e
, logo
Isso mostra que em dois passos o processo vai de
a
com probabilidade positiva, logo todos os estados comunicam e a cadeia é irredutível.
Passo 3
(Prova de aperiodicidade)
O período de um estado é
O período de um estado
Pela hipótese,
, então já em um passo voltamos de
para
com probabilidade positiva. Logo
Num sistema irredutível todos os estados têm o mesmo período, então todos têm período 1. Portanto a cadeia é aperiódica.
Resposta
A cadeia é irredutível e aperiódica.