Seja P a matriz de transição de uma cadeia de Markov. Mostre que se todos os elementos da primeira linha e da primeira coluna de P são maiores que zero então a cadeia é irredutível e aperiódica.

Passo 1

O enunciado considera uma cadeia de Markov com matriz de transição P=(Pij)1<= i,j<= n. Queremos mostrar dois fatos:
  1. A cadeia é irredutível (todos os estados comunicam entre si).
  2. A cadeia é aperiódica (o período comum dos estados é 1).
    Usaremos a hipótese de que
P1j>0forall,j
e
Pi1>0forall,i

Passo 2

(Prova de irredutibilidade)
Para mostrar que qualquer estado i comunica com qualquer estado j, basta exibir um m tal que (P^m)ij>0. Note que para m=2
(P^2)ij=sumk=1^n PikPkj>= Pi1P1j
Pela hipótese, Pi1>0 e P1j>0, logo
(P^2)ij>= Pi1P1j>0
Isso mostra que em dois passos o processo vai de i a j com probabilidade positiva, logo todos os estados comunicam e a cadeia é irredutível.

Passo 3

(Prova de aperiodicidade)
O período de um estado i é
d(i)=gcd,m>=1:;(P^m)ii>0
Pela hipótese, P11>0, então já em um passo voltamos de 1 para 1 com probabilidade positiva. Logo
1in,m>=1:;(P^m)11>0 Longrightarrow d(1)=1
Num sistema irredutível todos os estados têm o mesmo período, então todos têm período 1. Portanto a cadeia é aperiódica.

Resposta

A cadeia é irredutível e aperiódica.

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