Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de
pode ser modelada por
Encontre
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua conjunta
com densidade
e queremos calcular a probabilidade condicional
O conteúdo é teoria de distribuições contínuas conjuntas: densidade conjunta, marginalização e densidade condicional.
Passo 2
Primeiro: descobrir
pra densidade somar 1. A gente faz
A região é
. Integramos em
de
até 2 e depois em
de 0 a 1:
Logo
.
Passo 3
Agora vamos achar a marginal de
em
:
Para
, a condição
vira
, e também
. Então
Passo 4
A densidade condicional de
dado
é
válida para
.
Passo 5
Por fim, a probabilidade que queremos é