Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) pode ser modelada por
f(x, y)= k, & 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,2 y <= x 0, & caso contrário á
Encontre P(Y <= 1/4 | X=1).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua conjunta f(x,y)= k, & 0 <= x <= 2,;0<= y<=1,;2y<= x, 0, & caso contrário, com densidade
Pl(Y<=tfrac14mid X=1r) á
e queremos calcular a probabilidade condicional
O conteúdo é teoria de distribuições contínuas conjuntas: densidade conjunta, marginalização e densidade condicional.

Passo 2

Primeiro: descobrir integral!!integralregião k,dx,dy = 1 pra densidade somar 1. A gente faz
integraly=0^1!integralx=2y^2 k,dx,dy = kintegral0^1 (2-2y),dy = kl[2y - y^2r]0^1 = k(2-1) = k ã
A região é
. Integramos em de até 2 e depois em de 0 a 1:
Logo .

Passo 3

Agora vamos achar a marginal de fX(1) =integral f(1,y),dy em fX(1)=integral0^1/21,dy = tfrac12 :
Para , a condição vira , e também . Então

Passo 4

A densidade condicional de fYmid X(ymid1) =f(1,y)fX(1) =11/2 =2, dado é
válida para .

Passo 5

Por fim, a probabilidade que queremos é
Pl(Y<=tfrac14mid X=1r) =integral0^1/4 fYmid X(ymid1),dy =integral0^1/42,dy =2cdottfrac14 =tfrac12

Resposta

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