3- Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de 0,6 . Calcular a probabilidade de que daqui a 30 anos pelo menos três pessoas estejam vivas.

Passo 1

O enunciado fala de cinco pessoas independentes, cada uma com probabilidade de sobrevivência em 30 anos igual a 0,6. Queremos a probabilidade de que pelo menos três dessas cinco pessoas estejam vivas daqui a 30 anos. O conteúdo aqui é a distribuição binomial, pois temos um número fixo de ensaios independentes com duas possibilidades (sobrevive ou não) e probabilidade de sucesso constante.

Passo 2

Seja X a variável aleatória que conta quantas pessoas sobrevivem em 30 anos. Então
X sim Binl(n=5,;p=0,6r)
e a fórmula de probabilidade é
P(X=k) ;=; binom5k,(0,6)^k,(0,4)^5-k

Passo 3

Queremos
P(X >= 3) ;=; P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

Passo 4

Calculando termo a termo:
P(X=3) = binom53,(0,6)^3,(0,4)^2 =10 times 0,216 times 0,16 = 0,3456,
P(X=4) = binom54,(0,6)^4,(0,4)^1 =5 times 0,1296 times 0,4 = 0,2592,
P(X=5) = binom55,(0,6)^5,(0,4)^0 =1 times 0,07776 times 1 = 0,07776

Passo 5

Somando os três casos:
P(X >= 3) = 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,68256 approx 0,683

Resposta

0,683 (aproximadamente)

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