4- Três máquinas produzem peças:
M1: 30% da produção, com 1% de falhas
M2: 50% da produção, com 2% de falhas
M3: 20% da produção, com 3% de falhas
Uma peça é retirada ao acaso e está com defeito. Qual a probabilidade da peça ter sido produzida pela máquina M3?

Passo 1

O enunciado descreve três máquinas M1, M2 e M3 que produzem, respectivamente, 30%, 50% e 20% da produção total, com taxas de peças defeituosas de 1%, 2% e 3%. Foi retirada uma peça ao acaso e ela está defeituosa. Queremos a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina M3. O conteúdo aqui é aplicação do teorema de Bayes.

Passo 2

Seja D o evento “peça defeituosa” e Mi o evento “peça veio da máquina i”. Pelo teorema de Bayes:
P(M3mid D) = P(Dmid M3),P(M3)sumi=1^3P(Dmid Mi),P(Mi)

Passo 3

Calculamos as probabilidades conjuntas P(Dcap Mi)=P(Dmid Mi),P(Mi):
P(Dcap M1)=0,01times0,30=0,003,
P(Dcap M2)=0,02times0,50=0,01,
P(Dcap M3)=0,03times0,20=0,006

Passo 4

A probabilidade total de defeito é
P(D)=0,003+0,01+0,006=0,019

Passo 5

Substituindo em Bayes,
P(M3mid D) = 0,0060,019 approx0,3158

Resposta

A probabilidade de a peça defeituosa ter sido produzida pela máquina M3 é aproximadamente 31,58%.

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