Uma companhia de seguros verifica, com base em seu histórico de clientes, que o percentual de motoristas que nunca levaram uma multa por excesso de velocidade é de
. Se 400 clientes são aleatoriamente sorteados, qual é a probabilidade de que:
a) Entre 300 e 330 deles nunca tenham sido multados por excesso de velocidade?
a) Entre 300 e 330 deles nunca tenham sido multados por excesso de velocidade?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Temos que o percentual de motoristas que nunca levaram multa por excesso de velocidade é de
. - Foram sorteados
clientes aleatoriamente. - Pergunta: qual é a probabilidade de que entre
e desses nunca tenham sido multados por excesso de velocidade? (Entendo aqui "entre e " como inclusive, isto é, .)
Informações relevantes listadas:
-
(tamanho da amostra). -
(probabilidade de “sucesso” — neste caso, ser um motorista que nunca foi multado). - Precisamos calcular
, onde é o número de clientes, dentre os , que nunca foram multados.
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmulas básicas (explicação didática)
- Quando temos
ensaios independentes e cada ensaio tem probabilidade de sucesso, o número de sucessos segue a distribuição binomial: . - A função de probabilidade da binomial é
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
sucessos entre
ensaios).
- Para a binomial, a esperança (média) e a variância são dadas por
Essas fórmulas vêm da soma de variáveis indicadoras para cada ensaio; não precisa decorar com medo — basta lembrar que média é
vezes a probabilidade e variância tem o fator
.
Passo 3
Calcular média e desvio-padrão para os dados do problema
- Aplicando
:
- Aplicando
:
- Logo o desvio-padrão é
Interpretação: o número esperado (média) de clientes nunca multados é
, e a dispersão típica em torno dessa média é
clientes.
Passo 4
Escolha do método de resolução (por que usar aproximação normal)
- Calcular diretamente
somando muitas probabilidades binomiais (de até ) é trabalhoso manualmente. - Como
é grande e não é muito perto de ou , a aproximação pela normal (Teorema do Limite Central) funciona bem. Regra prática: usar aproximação normal quando e . Aqui e , ambos muito maiores que . - Então vamos aproximar
por .
Obs.: Para melhorar a precisão, usamos a correção de continuidade (vou explicar em seguida).
Passo 5
Correção de continuidade (explicando o porquê e aplicação)
- A binomial é discreta (valores inteiros), a normal é contínua. Para aproximar
da binomial pela normal é comum usar a correção de continuidade: substituir o intervalo inteiro por na normal. - Aqui queremos
(ambos inclusive). Aplicando correção:
onde
.
Passo 6
Padronizar para a variável normal padrão
- A padronização transforma
em pela fórmula
- Aplicando aos limites:
- Assim
Passo 7
Calcular a probabilidade usando a função de distribuição da normal padrão
- Denotando por
a função de distribuição da normal padrão, temos
- Usando a simetria da normal (
), obtemos
- Agora precisamos dos valores de
em e . Usando uma tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística) e interpolando: -
e . Para (um quarto do caminho) interpolamos e obtemos
-
e . Para interpolamos:
-
- Somando:
Passo 8
Interpretação e qualidade da aproximação
- Obtivemos aproximadamente
, ou seja cerca de . - A aproximação é muito boa aqui porque
é grande e não é extremo; a correção de continuidade ajuda a trazer mais precisão. Se quiséssemos a probabilidade exata teríamos que somar , que é trabalhoso sem software, e daria um número muito próximo do obtido. - Então podemos confiar nesse resultado para uso em prova escrita usando normal padrão.