Uma companhia de seguros verifica, com base em seu histórico de clientes, que o percentual de motoristas que nunca levaram uma multa por excesso de velocidade é de 80 %. Se 400 clientes são aleatoriamente sorteados, qual é a probabilidade de que:
a) Entre 300 e 330 deles nunca tenham sido multados por excesso de velocidade?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Temos que o percentual de motoristas que nunca levaram multa por excesso de velocidade é de 80\%.
  • Foram sorteados 400 clientes aleatoriamente.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que entre 300 e 330 desses 400 nunca tenham sido multados por excesso de velocidade? (Entendo aqui "entre 300 e 330" como inclusive, isto é, 300\le X\le 330.)
Informações relevantes listadas:
  • n=400 (tamanho da amostra).
  • p=0{,}80 (probabilidade de “sucesso” — neste caso, ser um motorista que nunca foi multado).
  • Precisamos calcular P(300\le X\le 330), onde X é o número de clientes, dentre os 400, que nunca foram multados.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmulas básicas (explicação didática)
  • Quando temos n ensaios independentes e cada ensaio tem probabilidade p de sucesso, o número de sucessos X segue a distribuição binomial: \;X\sim\mathrm{Bin}(n,p).
  • A função de probabilidade da binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos entre n ensaios).
  • Para a binomial, a esperança (média) e a variância são dadas por
\mu = E[X]=np,\qquad \sigma^{2}=\mathrm{Var}(X)=np(1-p).
Essas fórmulas vêm da soma de variáveis indicadoras para cada ensaio; não precisa decorar com medo — basta lembrar que média é n vezes a probabilidade e variância tem o fator 1-p.

Passo 3

Calcular média e desvio-padrão para os dados do problema
  • Aplicando \mu=np:
\mu = 400\cdot 0{,}80 = 320.
  • Aplicando \sigma^{2}=np(1-p):
\sigma^{2} = 400\cdot 0{,}80\cdot 0{,}20 = 64.
  • Logo o desvio-padrão é
\sigma=\sqrt{64}=8.
Interpretação: o número esperado (média) de clientes nunca multados é 320, e a dispersão típica em torno dessa média é 8 clientes.

Passo 4

Escolha do método de resolução (por que usar aproximação normal)
  • Calcular diretamente P(300\le X\le 330) somando muitas probabilidades binomiais (de k=300 até 330) é trabalhoso manualmente.
  • Como n é grande e p não é muito perto de 0 ou 1, a aproximação pela normal (Teorema do Limite Central) funciona bem. Regra prática: usar aproximação normal quando np\ge 5 e n(1-p)\ge 5. Aqui np=320 e n(1-p)=80, ambos muito maiores que 5.
  • Então vamos aproximar X\sim\mathrm{Bin}(400,0{,}8) por X\approx N(\mu,\sigma^{2})=N(320,64).
Obs.: Para melhorar a precisão, usamos a correção de continuidade (vou explicar em seguida).

Passo 5

Correção de continuidade (explicando o porquê e aplicação)
  • A binomial é discreta (valores inteiros), a normal é contínua. Para aproximar P(a\le X\le b) da binomial pela normal é comum usar a correção de continuidade: substituir o intervalo inteiro [a,b] por [a-0{,}5,\; b+0{,}5] na normal.
  • Aqui queremos P(300\le X\le 330) (ambos inclusive). Aplicando correção:
P(300\le X\le 330)\approx P(299{,}5 < X_{\text{normal}} < 330{,}5),
onde X_{\text{normal}}\sim N(320,64).

Passo 6

Padronizar para a variável normal padrão Z
  • A padronização transforma X em Z\sim N(0,1) pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Aplicando aos limites:
z_{\text{inferior}}=\frac{299{,}5-320}{8}=\frac{-20{,}5}{8}=-2{,}5625,
z_{\text{superior}}=\frac{330{,}5-320}{8}=\frac{10{,}5}{8}=1{,}3125.
  • Assim
P(300\le X\le 330)\approx P\bigl(-2{,}5625<Z<1{,}3125\bigr).

Passo 7

Calcular a probabilidade usando a função de distribuição da normal padrão
  • Denotando por \Phi(z) a função de distribuição da normal padrão, temos
P\bigl(-2{,}5625<Z<1{,}3125\bigr)=\Phi(1{,}3125)-\Phi(-2{,}5625).
  • Usando a simetria da normal ( \Phi(-a)=1-\Phi(a)), obtemos
\Phi(1{,}3125)-\Phi(-2{,}5625)=\Phi(1{,}3125)+\Phi(2{,}5625)-1.
  • Agora precisamos dos valores de \Phi em 1{,}3125 e 2{,}5625. Usando uma tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística) e interpolando:
    • \Phi(1{,}31)\approx 0{,}9049 e \Phi(1{,}32)\approx 0{,}9066. Para 1{,}3125 (um quarto do caminho) interpolamos e obtemos
    \Phi(1{,}3125)\approx 0{,}9049+0{,}25\cdot(0{,}9066-0{,}9049)\approx 0{,}9053.
    • \Phi(2{,}56)\approx 0{,}9948 e \Phi(2{,}57)\approx 0{,}9949. Para 2{,}5625 interpolamos:
    \Phi(2{,}5625)\approx 0{,}9948+0{,}25\cdot(0{,}9949-0{,}9948)\approx 0{,}994825\approx 0{,}9948.
  • Somando:
\Phi(1{,}3125)+\Phi(2{,}5625)-1 \approx 0{,}9053 + 0{,}9948 -1 = 0{,}9001\text{ (aprox.)}.

Passo 8

Interpretação e qualidade da aproximação
  • Obtivemos aproximadamente 0{,}9001, ou seja cerca de 90{,}01\%.
  • A aproximação é muito boa aqui porque n é grande e p não é extremo; a correção de continuidade ajuda a trazer mais precisão. Se quiséssemos a probabilidade exata teríamos que somar \sum_{k=300}^{330}\binom{400}{k}0{,}8^k0{,}2^{400-k}, que é trabalhoso sem software, e daria um número muito próximo do obtido.
  • Então podemos confiar nesse resultado para uso em prova escrita usando normal padrão.

Resposta

\approx 0{,}9001 (ou seja, cerca de 90{,}01\%).

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