Uma companhia de seguros verifica, com base em seu histórico de clientes, que o percentual de motoristas que nunca levaram uma multa por excesso de velocidade é de 80 %. Se 400 clientes são aleatoriamente sorteados, qual é a probabilidade de que:
b) Mais de 100 já tenham sido multados?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade clara:
  • Percentual de motoristas que nunca levaram multa por excesso de velocidade: 80\%.
  • Logo, a probabilidade de um motorista já ter sido multado é 20\%.
  • Tamanho da amostra: n=400 clientes selecionados aleatoriamente.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que mais de 100 desses 400 já tenham sido multados? Em termos probabilísticos, queremos calcular P(X>100), onde X é o número de clientes multados entre os 400.

Passo 2

Modelagem do problema (o que é X e seus parâmetros):
  • Cada cliente, independentemente, tem probabilidade p=0,2 de já ter sido multado.
  • O número de clientes multados numa amostra de n=400 segue uma distribuição binomial. Definimos a variável aleatória
X \sim \mathrm{Binomial}(n=400,\; p=0,2).
  • Para a binomial, lembramos as fórmulas básicas (explico como usar na prova): a esperança (média) é \mu = np e a variância é \sigma^2 = np(1-p). Essas fórmulas vêm da soma de n variáveis indicadoras independentes com média p e variância p(1-p).

Passo 3

Calcular média e desvio padrão (passo necessário para aproximar com normal):
  • Cálculo da média:
\mu = np = 400 \cdot 0,2 = 80.
  • Cálculo da variância e do desvio padrão:
\sigma^2 = np(1-p) = 400 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 64,
\sigma = \sqrt{64} = 8.
Interpretação intuitiva: em média esperamos 80 multados, com desvio típico de 8 clientes.

Passo 4

Justificativa para usar aproximação normal (clássica em prova):
  • A distribuição binomial pode ser aproximada pela normal quando n é grande e np e n(1-p) não são pequenos. Aqui np=80 e n(1-p)=320, ambos bem maiores que 5, então a aproximação normal é apropriada.
  • Usamos a normal com média \mu=80 e desvio padrão \sigma=8:
X \approx N(\mu=80,\;\sigma^2=64).

Passo 5

Aplicar correção de continuidade (dica prática para melhorar a aproximação):
  • Queremos P(X>100). Em variável discreta isso significa P(X\ge 101). Para aproximar com a normal, usamos correção de continuidade: P(X\ge 101) \approx P\big(Y>100,5\big) onde Y é a normal aproximante.
  • Transformamos para a variável padrão Z\sim N(0,1):
P(X>100)\approx P\big(Y>100,5\big) = 1 - \Phi\!\left(\frac{100,5-\mu}{\sigma}\right).

Passo 6

Calcular o valor z e consultar a função de distribuição padrão:
  • Calculamos
z = \frac{100,5 - 80}{8} = \frac{20,5}{8} = 2,5625.
  • Agora precisamos de \Phi(2,5625), a probabilidade acumulada da normal padrão até 2,5625. Usando tabela ou calculadora de normal, temos valores conhecidos próximos: \Phi(2,56)\approx 0,9948 e \Phi(2,57)\approx 0,9949. Interpolando levemente para 2,5625 obtemos aproximadamente \Phi(2,5625)\approx 0,9948 (mais precisamente cerca de 0,99482).
  • Portanto a cauda direita é
1 - \Phi(2,5625)\approx 1 - 0,99482 \approx 0,00518.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento amigável:
  • A probabilidade de que mais de 100 dos 400 clientes já tenham sido multados é aproximadamente 0,0052, ou seja cerca de 0,52\%. É uma probabilidade pequena — faz sentido, pois a média esperada é 80 e 100 está bem acima (mais de 2,5 desvios-padrão acima).

Resposta

0,0052

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