Uma companhia de seguros verifica, com base em seu histórico de clientes, que o percentual de motoristas que nunca levaram uma multa por excesso de velocidade é de
. Se 400 clientes são aleatoriamente sorteados, qual é a probabilidade de que:
b) Mais de 100 já tenham sido multados?
b) Mais de 100 já tenham sido multados?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade clara:
- Percentual de motoristas que nunca levaram multa por excesso de velocidade:
. - Logo, a probabilidade de um motorista já ter sido multado é
. - Tamanho da amostra:
clientes selecionados aleatoriamente. - Pergunta: qual é a probabilidade de que mais de
desses já tenham sido multados? Em termos probabilísticos, queremos calcular , onde é o número de clientes multados entre os .
Passo 2
Modelagem do problema (o que é
e seus parâmetros):
- Cada cliente, independentemente, tem probabilidade
de já ter sido multado. - O número de clientes multados numa amostra de
segue uma distribuição binomial. Definimos a variável aleatória
- Para a binomial, lembramos as fórmulas básicas (explico como usar na prova): a esperança (média) é
e a variância é . Essas fórmulas vêm da soma de variáveis indicadoras independentes com média e variância .
Passo 3
Calcular média e desvio padrão (passo necessário para aproximar com normal):
- Cálculo da média:
- Cálculo da variância e do desvio padrão:
Interpretação intuitiva: em média esperamos
multados, com desvio típico de
clientes.
Passo 4
Justificativa para usar aproximação normal (clássica em prova):
- A distribuição binomial pode ser aproximada pela normal quando
é grande e e não são pequenos. Aqui e , ambos bem maiores que , então a aproximação normal é apropriada. - Usamos a normal com média
e desvio padrão :
Passo 5
Aplicar correção de continuidade (dica prática para melhorar a aproximação):
- Queremos
. Em variável discreta isso significa . Para aproximar com a normal, usamos correção de continuidade: onde é a normal aproximante. - Transformamos para a variável padrão
:
Passo 6
Calcular o valor
e consultar a função de distribuição padrão:
- Calculamos
- Agora precisamos de
, a probabilidade acumulada da normal padrão até . Usando tabela ou calculadora de normal, temos valores conhecidos próximos: e . Interpolando levemente para obtemos aproximadamente (mais precisamente cerca de ). - Portanto a cauda direita é
Passo 7
Interpretação final e arredondamento amigável:
- A probabilidade de que mais de
dos clientes já tenham sido multados é aproximadamente , ou seja cerca de . É uma probabilidade pequena — faz sentido, pois a média esperada é e está bem acima (mais de desvios-padrão acima).