Uma companhia utiliza anualmente milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acesas continuamente, dia e noite. Admite-se que em tais condições, a vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma variável distribuída normalmente com média de 50 dias e desvio padrão de 19 dias. Ao primeiro dia de janeiro a Companhia colocou em serviço 5000 lâmpadas novas. Qual o número esperado das que deveriam ser substituídas no primeiro dia de fevereiro ?

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil das lâmpadas é uma variável aleatória X com distribuição normal de média \mu = 50 dias e desvio padrão \sigma = 19 dias. A Companhia colocou n = 5000 lâmpadas em 1º de janeiro e queremos saber quantas, em média, falham até 1º de fevereiro (isto é, até 31 dias de uso). Para resolver, vamos:
  1. Calcular a probabilidade de uma lâmpada durar no máximo 31 dias, ou seja P(X \le 31).
  2. Multiplicar essa probabilidade por 5000 para obter o número esperado de falhas.

Passo 2

Definimos a probabilidade de falha até o dia 31 como
p = P(X \le 31).
Para a normal, padronizamos usando
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1).

Passo 3

Calculamos o valor padronizado correspondente a X=31:
z = \frac{31 - 50}{19} = \frac{-19}{19} = -1.
Logo
p = P(X \le 31) = P\bigl(Z \le -1\bigr).

Passo 4

Consultando tabela da normal padrão, temos
P\bigl(Z \le -1\bigr) \approx 0{,}1587.

Passo 5

O número esperado de lâmpadas substituídas é
E = n \times p = 5000 \times 0{,}1587 = 793{,}5.
Como não podemos substituir meia lâmpada, arredondamos para o inteiro mais próximo.

Resposta

Aproximadamente 794 lâmpadas devem ser substituídas no primeiro dia de fevereiro.

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