Admita que a população dos pesos dos passageiros de uma companhia de aviação tenha média de 150 libras e desvio padrão de 25 libras. Certo avião tem capacidade de 7800 libras. Qual a probabilidade de uma lotação de 50 passageiros ultrapassar aquele limite? Se quisermos reduzir para 0,01 a chance de sobrecarga, de quanto devemos aumentar a capacidade ?

Passo 1

O enunciado trata do peso total S de n=50 passageiros, onde cada peso é i.i.d. com média \mu=150 lb e desvio padrão \sigma=25 lb. Vamos usar o Teorema Central do Limite para aproximar S por uma normal e calcular (a) \Pr(S>7800) e depois (b) qual nova capacidade C satisfaz \Pr(S>C)=0,01.

Passo 2

Pela independência e pelo Teorema Central do Limite,
S \approx N\bigl(\mu_S,\sigma_S^2\bigr)
com
\mu_S = n\mu = 50 \times 150 = 7500,
\sigma_S = \sqrt{n}\,\sigma = \sqrt{50}\times 25 \approx 176,78.

Passo 3

Queremos
\Pr(S>7800) = 1 - \Phi\!\biggl(\frac{7800 - \mu_S}{\sigma_S}\biggr) = 1 - \Phi\!\Bigl(\frac{7800 - 7500}{176,78}\Bigr) = 1 - \Phi(1,697) \approx 1 - 0,955 = 0,045.

Passo 4

Para ter \Pr(S>C)=0,01, precisamos de
\frac{C - \mu_S}{\sigma_S} = z_{0,99} \approx 2,326,
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C = \mu_S + 2,326\,\sigma_S \approx 7500 + 2,326\times176,78 \approx 7911,5.
Como a capacidade atual é 7800 lb, devemos aumentá-la em
7911,5 - 7800 \approx 111,5\text{ lb},
isto é, cerca de 112 lb.

Resposta

A probabilidade de ultrapassar 7800 lb é aproximadamente 0,045.
Para reduzir essa chance a 0,01, a capacidade deve ser aumentada em cerca de 112 libras.

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