Suponha que um agrimensor está procurando determinar a área de um campo retangular, em que as medidas do comprimento, X , e da largura, Y , são variáveis aleatórias independentes que flutuam em redor dos verdadeiros valores, de acordo com as seguintes distribuições de probabilidade:
\mathrm{X}: 8 10 11
\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{x}): 0,25 0,25 0,5
\mathrm{Y}: 4 6
\mathrm{Y}(\mathrm{Y}=\mathrm{y}): 0,5 0,5
A área calculada \mathrm{A}=\mathrm{XY} é, naturalmente, uma variável aleatória, e é usada para estimar a área verdadeira. Se o verdadeiro comprimento e a verdadeira largura são 10 e 5 , respectivamente :
a) X é um estimador não viesado do verdadeiro comprimento ?
b) Y é um estimador não viesado da verdadeira largura ?
c) A é um estimador não viesado da verdadeira área ?
d) Qual é a variância de A ?

Passo 1

O enunciado descreve um agrimensor que mede o comprimento X\) e a largura \(Y\) de um campo retangular como variáveis aleatórias independentes, com distribuições \[P(X=x)=\begin{cases} 0,25,&x=8,\\\\ 0,25,&x=10,\\\\ 0,50,&x=11, \end{cases} \quad P(Y=y)=\begin{cases} 0,50,&y=4,\\\\ 0,50,&y=6. \end{cases}
A área estimada é A=XY\]. Sabendo que os valores verdadeiros são 10 (comprimento) e 5 (largura), pergunta-se: a) \(X é estimador não viesado de 10?
b) Y é estimador não viesado de 5?
c) A é estimador não viesado de 50?
d) Qual \Var(A)?
Conteúdo: esperança, viesamento de estimador, variância e variância de produto.

Passo 2

Calculamos
\E[X]=8\cdot0,25+10\cdot0,25+11\cdot0,50=2+2,5+5,5=10.
Como \E[X]=10 (valor verdadeiro), X é não viesado.

Passo 3

Calculamos
\E[Y]=4\cdot0,50+6\cdot0,50=2+3=5.
Como \E[Y]=5 (valor verdadeiro), Y é não viesado.

Passo 4

Pela independência,
\E[A]=\E[XY]=\E[X]\,\E[Y]=10\cdot5=50,
que coincide com a verdadeira área 10\cdot5, logo A é não viesado.

Passo 5

Para \Var(A) precisamos de \E[X^2], \E[Y^2]:
\E[X^2]=8^2\cdot0,25+10^2\cdot0,25+11^2\cdot0,50=16+25+60,5=101,5,
\E[Y^2]=4^2\cdot0,50+6^2\cdot0,50=8+18=26.
Assim
\Var(X)=\E[X^2]-(\E[X])^2=101,5-10^2=1,5, \quad \Var(Y)=26-5^2=1.

Passo 6

Usando a fórmula da variância do produto de independentes,
\Var(A)=\Var(XY)=(\E[X])^2\Var(Y)+(\E[Y])^2\Var(X)+\Var(X)\Var(Y).
Substituindo,
\Var(A)=10^2\cdot1+5^2\cdot1,5+1,5\cdot1=100+37,5+1,5=139.

Resposta

a) Sim, \E[X]=10, logo X é não viesado.
b) Sim, \E[Y]=5, logo Y é não viesado.
c) Sim, \E[A]=50, logo A é não viesado.
d) \Var(A)=139.

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