Suponha que um agrimensor está procurando determinar a área de um campo retangular, em que as medidas do comprimento, X , e da largura, Y , são variáveis aleatórias independentes que flutuam em redor dos verdadeiros valores, de acordo com as seguintes distribuições de probabilidade:
8
10
11
0,25
0,25
0,5
4
6
0,5
0,5
A área calculada
é, naturalmente, uma variável aleatória, e é usada para estimar a área verdadeira. Se o verdadeiro comprimento e a verdadeira largura são 10 e 5 , respectivamente :
a) X é um estimador não viesado do verdadeiro comprimento ?
b) Y é um estimador não viesado da verdadeira largura ?
c) A é um estimador não viesado da verdadeira área ?
d) Qual é a variância de A ?
|
8 | 10 | 11 |
|
0,25 | 0,25 | 0,5 |
|
4 | 6 | |
|
0,5 | 0,5 |
a) X é um estimador não viesado do verdadeiro comprimento ?
b) Y é um estimador não viesado da verdadeira largura ?
c) A é um estimador não viesado da verdadeira área ?
d) Qual é a variância de A ?
Passo 1
O enunciado descreve um agrimensor que mede o comprimento
A área estimada é
é estimador não viesado de 10?
b) é estimador não viesado de 5?
c) é estimador não viesado de 50?
d) Qual ?
Conteúdo: esperança, viesamento de estimador, variância e variância de produto.
b)
c)
d) Qual ?
Conteúdo: esperança, viesamento de estimador, variância e variância de produto.
Passo 2
Calculamos
Como
(valor verdadeiro),
é não viesado.
Passo 3
Calculamos
Como
(valor verdadeiro),
é não viesado.
Passo 4
Pela independência,
que coincide com a verdadeira área
, logo
é não viesado.
Passo 5
Para
precisamos de
,
:
Assim
Passo 6
Usando a fórmula da variância do produto de independentes,
Substituindo,
Resposta
a) Sim,
, logo
é não viesado.
b) Sim, , logo é não viesado.
c) Sim, , logo é não viesado.
d) .
b) Sim, , logo
c) Sim, , logo
d) .