As companhias de seguro de automóveis estão cogitando elevar os prêmios para aqueles que falam ao celular enquanto estão dirigindo. Um grupo organizado de usuários afirma que o problema realmente não é tão sério, porque apenas 10 \% dos motoristas usam celulares ao dirigir. A Associação das Seguradoras faz um estudo e constata que, entre 200 motoristas selecionados aleatoriamente, 30 usavam celular ao dirigir.
a) Com base na amostra, teste a afirmação do grupo de usuários ao nível de significância de 2 \%.
b) Qual o valor p para o teste?
c) Considerando que o real valor da proporção seja de 0,12 , calcule a probabilidade do erro tipo I I.

Passo 1

O enunciado diz que, segundo o grupo de usuários, a proporção verdadeira de motoristas que usam celular ao volante seria p_{0}=0{,}10. A seguradora sorteou n=200 motoristas e observou x=30 que usam celular, isto é, \hat p = 30/200 = 0{,}15. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0{,}02,
H_{0}: p=0{,}10 \quad\text{versus}\quad H_{1}: p>0{,}10,
usando a aproximação normal para a proporção.

Passo 2

Sob H_{0}, a estimativa \hat p tem média p_{0}=0{,}10 e desvio-padrão
\sigma_{0} =\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}} =\sqrt{\frac{0{,}10\cdot0{,}90}{200}} =\sqrt{0{,}00045} \approx0{,}02121.

Passo 3

O estatístico de teste é
Z =\frac{\hat p - p_{0}}{\sigma_{0}} =\frac{0{,}15 - 0{,}10}{0{,}02121} \approx2{,}357.

Passo 4

Para \alpha=0{,}02 em teste unilateral à direita, a região crítica é Z>z_{1-\alpha}=z_{0{,}98}. Da tabela normal,
z_{0{,}98}\approx2{,}0537.

Passo 5

Como Z\approx2{,}357>2{,}0537, rejeitamos H_{0}. Concluímos que há evidência, ao nível de 2%, de que a proporção real p excede 0,10.

Passo 6

O valor- p do teste unilateral é
p\text{-value} =1-\Phi(2{,}357) \approx1-0{,}9906 =0{,}0094.

Passo 7

Para calcular o erro tipo II quando o verdadeiro p=0{,}12, primeiro achamos o ponto crítico em termos de \hat p:
\hat p_{\text{c}} = p_{0} + z_{1-\alpha}\,\sigma_{0} =0{,}10 + 2{,}0537\cdot0{,}02121 \approx0{,}14356.
A seguir, sob p=0{,}12, o desvio-padrão de \hat p é
\sigma_{1} =\sqrt{\frac{0{,}12\,(1-0{,}12)}{200}} =\sqrt{0{,}000528} \approx0{,}02298.
O erro tipo II é a probabilidade de \hat p \le 0{,}14356 quando p=0{,}12:
\beta = \Phi\!\Bigl(\frac{0{,}14356-0{,}12}{0{,}02298}\Bigr) = \Phi(1{,}026) \approx0{,}8478.

Resposta

(a) Rejeita-se H_{0}, pois Z\approx2{,}357>2{,}0537.
(b) p\text{-value}\approx0{,}0094.
(c) \beta\approx0{,}8478.

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