Pesquisadores queriam verificar se o peso médio de crianças nascidas de mães dependentes de cocaína era menor do que o de mães não dependentes. Para tanto, trabalharam com dois grupos de mães: o primeiro de mães que usaram regularmente a droga durante toda a gravidez (Grupo 1) e o segundo de mães que não tinham história ou evidência de uso de cocaína (Grupo 2). Os resultados foram os seguintes:
n Média amostral (\mathrm{g}) Desvio padrão amostral(g)
Grupo 1 - Usuárias 10 2829 708
Grupo 2 - Não usuárias 10 3436 628
a) Construa intervalos de confiança 95 \% para o peso médio das crianças dos dois grupos de mães.
b) Estabeleça as hipóteses nula e alternativa para responder à questão formulada no enunciado do problema. Usando um nível de significância de 5 \%, faça o teste. Qual a sua conclusão?
c) A sua conclusão está coerente com os intervalos calculados no item (a)? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes de tamanho n_{1}=10 (mães usuárias) e n_{2}=10 (mães não usuárias), com médias amostrais \bar x_{1}=2829 g, \bar x_{2}=3436 g e desvios padrão amostrais s_{1}=708 g, s_{2}=628 g.
a) Queremos construir intervalos de confiança de 95\% para \mu_{1} e \mu_{2} usando a distribuição t de Student com n-1=9 graus de liberdade.
b) Em seguida, faremos um teste t unilateral (grupo 1 menor que grupo 2) ao nível \alpha=0,05.
c) Por fim, veremos se a conclusão do teste é coerente com os intervalos calculados em (a).

Passo 2

Para cada grupo, o intervalo de confiança de 95\% é dado por
\bar x \;\pm\; t_{0,975;\,9}\;\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{0,975;\,9}=2,262.
Para o Grupo 1:
\text{margem} = 2,262\,\frac{708}{\sqrt{10}} =2,262\times223,85\approx506,4
CI_{1}\;=\;2829\pm506{,}4 \;=\;(2322{,}6,\;3335{,}4)\approx(2323,\;3335)\,\text{g}
Para o Grupo 2:
\text{margem} = 2,262\,\frac{628}{\sqrt{10}} =2,262\times198,82\approx449,5
CI_{2}\;=\;3436\pm449{,}5 \;=\;(2986{,}5,\;3885{,}5)\approx(2987,\;3886)\,\text{g}

Passo 3

Hipóteses para o teste unilateral:
H_{0}:\,\mu_{1}=\mu_{2} \quad\text{vs.}\quad H_{1}:\,\mu_{1}<\mu_{2}.
Estatística de teste (Welch):
t=\frac{\bar x_{1}-\bar x_{2}} {\sqrt{\tfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\tfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}} =\frac{2829-3436}{\sqrt{\tfrac{708^{2}}{10}+\tfrac{628^{2}}{10}}} \approx\frac{-607}{301} \approx-2{,}01.
Graus de liberdade aproximados (Welch): df\approx34.

Passo 4

Para \alpha=0,05 e df\approx34, o valor crítico unilaterial é t_{0,95;\,34}\approx1{,}691.
Rejeitamos H_{0} se t< -\,t_{0,95;\,34}, ou seja, se t< -1{,}691.
Como -2{,}01< -1{,}691, rejeitamos H_{0}.
Conclusão: há evidência, ao nível de 5\%, de que o peso médio das crianças de mães usuárias de cocaína é menor.

Passo 5

Os intervalos individuais (2323,3335) e (2987,3886) se sobrepõem parcialmente, mas isso não impede que o teste de diferença detecte uma redução significativa em \mu_{1} em relação a \mu_{2}. Assim, a conclusão do teste é coerente com os resultados dos intervalos de confiança.

Resposta

a) CI_{1}=(2323,\;3335) g e CI_{2}=(2987,\;3886) g.
b) H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2} H_{1}:\mu_{1}<\mu_{2} t=-2{,}01, df\approx34, nível \alpha=0,05, rejeita-se H_{0}. Conclui-se que o peso médio do Grupo 1 é menor.
c) Sim. Apesar da sobreposição parcial dos intervalos, o teste aponta diferença significativa.

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