Questão 10. Mostre os seguintes itens:
\sigma_{a X+b}=|a| \cdot \sigma_{X}

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, dada uma variável aleatória X e constantes a e b, vale
\sigma_{aX+b} = |a|\;\sigma_X.
Para isso vamos usar a definição de desvio-padrão em termos da variância, ou seja
\sigma_Y = \sqrt{\operatorname{Var}(Y)},
e a definição de variância
\operatorname{Var}(Y) = \mathbb{E}\bigl[(Y - \mathbb{E}[Y])^2\bigr].

Passo 2

Calculemos primeiro a variância de aX+b. Pela definição,
\operatorname{Var}(aX+b) = \mathbb{E}\bigl[\bigl((aX+b) - \mathbb{E}[\,aX+b\,]\bigr)^2\bigr].
Como a esperança é linear, \mathbb{E}[aX+b]=a\,\mathbb{E}[X]+b. Logo
(aX+b)-\bigl(a\,\mathbb{E}[X]+b\bigr) = a\bigl(X-\mathbb{E}[X]\bigr).

Passo 3

Substituindo na variância,
\operatorname{Var}(aX+b) = \mathbb{E}\bigl[a^2\,(X - \mathbb{E}[X])^2\bigr] = a^2\,\mathbb{E}\bigl[(X - \mathbb{E}[X])^2\bigr] = a^2\,\operatorname{Var}(X).

Passo 4

Agora basta passar ao desvio-padrão:
\sigma_{aX+b} = \sqrt{\operatorname{Var}(aX+b)} = \sqrt{a^2\,\operatorname{Var}(X)} = |a|\,\sqrt{\operatorname{Var}(X)} = |a|\,\sigma_X.

Resposta

\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X.

Exercícios relacionados