(Comparação de Erros em Aproximações) Suponha que um método numérico forneça os seguintes valores aproximados para uma função:
  • Aproximação 1: 2,7182
  • Aproximação 2: 2,71828
  • Aproximação 3: 2,718281
O valor exato da função é 2,7182818 .
a) Determine o erro absoluto e relativo para cada aproximação.
b) Quantos dígitos significativos corretos há em cada caso?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos três aproximações de uma certa função (que na verdade é o número e):
  • Aproximação 1: 2,7182
  • Aproximação 2: 2,71828
  • Aproximação 3: 2,718281
    O valor exato é 2,7182818.
    O que vamos fazer?
  1. Calcular o erro absoluto e o erro relativo de cada aproximação.
  2. Descobrir quantos dígitos significativos estão corretos em cada uma.
    Matéria: análise de erros em métodos numéricos. Vamos usar as definições de erro absoluto, erro relativo e o critério de dígitos significativos.

Passo 2

Primeiro, as definições que vamos usar:
  • Erro absoluto Ea = l|tilde x - xr| onde Er = Ea|x| é o valor aproximado e é o valor exato.
  • Erro relativo que diz “qual fração do valor exato” é o erro.

Passo 3

Agora, aplicando a cada aproximação (vou manter três casas decimais em notação científica para o erro relativo, só pra ficar legível):
  1. Aproximação 1: Ea = |2,7182 - 2,7182818| = 0,0000818 = 8,18times10^-5
    • Erro absoluto Er = 8,18times10^-52,7182818 approx 3,01times10^-5
    • Erro relativo Ea = |2,71828 - 2,7182818| = 0,0000018 = 1,8times10^-6
  2. Aproximação 2: Er = 1,8times10^-62,7182818 approx 6,62times10^-7
    • Erro absoluto Ea = |2,718281 - 2,7182818| = 0,0000008 = 8times10^-7
    • Erro relativo Er = 8times10^-72,7182818 approx 2,94times10^-7
  3. Aproximação 3:
    • Erro absoluto
    • Erro relativo

Passo 4

Pra contar os dígitos significativos corretos, a regra prática é:
um valor normalizado Ea <= 0,5times10^,k-d tem d dígitos corretos se
Ea = 8,18times10^-5, 0,5times10^1-d;>=;8,18times10^-5
Aqui nossas aproximações estão todas em torno de Ea = 1,8times10^-6,;0,5times10^1-6=5times10^-5times10^-1=5times10^-6, , ou seja Ea = 8times10^-7,;0,5times10^1-7=5times10^-7 (ou escritas como , aí – o critério dá o mesmo número de dígitos). Vamos usar para facilitar:
  • Aproximação 1 ( ):
    Se , , que é menor que .
    Se , , aí sim .
    Logo, tem 4 dígitos corretos.
  • Aproximação 2 ( ):
    comparando: , OK para .
    Se , cai para e .
    Logo, 6 dígitos corretos.
  • Aproximação 3 ( ):
    E , então não dá 7. Para vale o mesmo caso da aproximação 2.
    Logo, também 6 dígitos corretos.

Resposta

a)
  • Aproximação 1:
  • Aproximação 2:
  • Aproximação 3:
b) Dígitos significativos corretos:
  • Aproximação 1: 4 dígitos
  • Aproximação 2: 6 dígitos
  • Aproximação 3: 6 dígitos

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