(Comparação de Erros em Aproximações) Suponha que um método numérico forneça os seguintes valores aproximados para uma função:
Aproximação 1: 2,7182
Aproximação 2: 2,71828
Aproximação 3: 2,718281
O valor exato da função é 2,7182818 .
a) Determine o erro absoluto e relativo para cada aproximação.
b) Quantos dígitos significativos corretos há em cada caso?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos três aproximações de uma certa função (que na verdade é o número e):
Aproximação 1: 2,7182
Aproximação 2: 2,71828
Aproximação 3: 2,718281
O valor exato é 2,7182818.
O que vamos fazer?
Calcular o erro absoluto e o erro relativo de cada aproximação.
Descobrir quantos dígitos significativos estão corretos em cada uma.
Matéria: análise de erros em métodos numéricos. Vamos usar as definições de erro absoluto, erro relativo e o critério de dígitos significativos.
Passo 2
Primeiro, as definições que vamos usar:
Erro absolutoonde Er = Ea|x| é o valor aproximado e é o valor exato.
Erro relativoque diz “qual fração do valor exato” é o erro.
Passo 3
Agora, aplicando a cada aproximação (vou manter três casas decimais em notação científica para o erro relativo, só pra ficar legível):
Erro relativo Er = 8times10^-72,7182818 approx 2,94times10^-7
Aproximação 3:
Erro absoluto
Erro relativo
Passo 4
Pra contar os dígitos significativos corretos, a regra prática é:
um valor normalizado Ea <= 0,5times10^,k-d tem d dígitos corretos se
Ea = 8,18times10^-5, 0,5times10^1-d;>=;8,18times10^-5
Aqui nossas aproximações estão todas em torno de Ea = 1,8times10^-6,;0,5times10^1-6=5times10^-5times10^-1=5times10^-6, , ou seja Ea = 8times10^-7,;0,5times10^1-7=5times10^-7 (ou escritas como , aí – o critério dá o mesmo número de dígitos). Vamos usar para facilitar:
Aproximação 1 ():
Se , , que é menor que .
Se , , aí sim .
Logo, tem 4 dígitos corretos.
Aproximação 2 ():
comparando: , OK para .
Se , cai para e .
Logo, 6 dígitos corretos.
Aproximação 3 ():
E , então não dá 7. Para vale o mesmo caso da aproximação 2.
Logo, também 6 dígitos corretos.