(Erro de Truncamento) A série infinita abaixo representa e^x
e^x=sumn=0^infty x^nn!=1+x+x^22!+x^33!+ldots
a) Calcule a aproximação de e^1 usando os 4 primeiros termos da série.
b) Considerando o valor real de e approx 2.7182818, calcule o erro absoluto e o erro relativo da aproximação.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem a expansão em série de Taylor de
e^x = sumn=0^infty x^nn! = 1 + x + x^22! + x^33! + dots
a) Queremos aproximar (ou seja, ) usando só os quatro primeiros termos (de até ).
b) Depois, usando o “valor real” , calcular o erro absoluto e o erro relativo dessa aproximação.
Conteúdo: série de Taylor (ou Maclaurin), fatoriais, soma de série truncada e definição de erro absoluto/relativo. Não precisa saber nada além de como calcular potências e fatoriais e depois subtrair/dividir pra achar o erro.

Passo 2

Vamos escrever os quatro primeiros termos para :
Termo :
Termo :
Termo :
Termo :

Passo 3

Somando esses termos a gente obtém a aproximação truncada:
S3 = 1 + 1 + 0,5 + 0,1666667 = 2,6666667

Passo 4

Agora o erro absoluto é a distância entre o valor “real” e nossa aproximação:
Erro absoluto = l|2,7182818 - 2,6666667r| = 0,0516151

Passo 5

E o erro relativo é esse erro absoluto dividido pelo valor real:
Erro relativo = 0,05161512,7182818 approx 0,01898 (approx1,898%)

Resposta

Aproximação de e^1 approx 2,6666667 pelos quatro primeiros termos:
Erro absoluto .
Erro relativo (ou cerca de ).

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