(Comparação de Erros com Python)
Escreva um programa que:
a) Calcule a aproximação de e^x usando os 4 primeiros termos da série de Taylor para x=1.
b) Compare o resultado com math. exp (1) e calcule o erro absoluto e relativo.

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas:
a) Aproximar para usando os 4 primeiros termos da série de Taylor.
b) Comparar essa aproximação com o valor “de verdade” que vem de math.exp(1) em Python, e daí calcular o erro absoluto e o erro relativo.
Conteúdo envolvido:
  • Série de Taylor para .
  • Fatorial ( ).
  • Definição de erro absoluto e erro relativo.
    Vamos precisar entender esses conceitos do zero e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Taylor (em torno de zero) para e^x ;=;sumn=0^inftyx^nn! é:
e^1 approx sumn=0^31^nn! = 1^00! + 1^11! + 1^22! + 1^33!
Isso significa que a gente soma infinitos termos . Como a gente quer só os 4 primeiros, paramos em . Ou seja, vamos usar

Passo 3

Hora de calcular cada pedacinho:
  • aprox = 1 + 1 + 0,5 + 0,1666667 = 2,6666667;(aproximadamente) , então .
  • , então .
  • , então .
  • , então .
    Somando tudo:

Passo 4

Agora, precisamos do valor “certo” de verdadeiro = 2,718281828459045ldots , que em Python é math.exp(1). Esse valor é, com várias casas:
Erm abs = l|aprox - verdadeiror|
Definições de erro:
  • Erro absoluto: Erm rel = Erm abs|verdadeiro|
  • Erro relativo:

Passo 5

Vamos calcular esses erros:
Erm abs = |2,6666667 - 2,718281828459045|approx 0,05161513
Erm rel = 0,051615132,718281828459045 approx 0,01898;(1,898%)

Passo 6

Se quiser ver isso num programinha em Python, seria algo como:
import math

# aproximação com 4 termos da série de Taylor
aprox = sum(1/math.factorial(n) for n in range(4))

# valor exato
verdadeiro = math.exp(1)

# erros
erro_abs = abs(aprox - verdadeiro)
erro_rel = erro_abs / abs(verdadeiro)

print(aprox, verdadeiro, erro_abs, erro_rel)

Resposta

Aproximação (4 termos): 2,6666667
Valor exato (math.exp(1)): 2,7182818…
Erro absoluto: ≈ 0,0516151
Erro relativo: ≈ 0,01898 (1,898%)

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