(Comparação de Erros com Python)
Escreva um programa que:
a) Calcule a aproximação de
usando os 4 primeiros termos da série de Taylor para
.
b) Compare o resultado com math.
e calcule o erro absoluto e relativo.
a) Calcule a aproximação de
b) Compare o resultado com math.
Passo 1
Beleza, o exercício pede duas coisas:
a) Aproximar para
usando os 4 primeiros termos da série de Taylor.
b) Comparar essa aproximação com o valor “de verdade” que vem de
Conteúdo envolvido:
a) Aproximar
b) Comparar essa aproximação com o valor “de verdade” que vem de
math.exp(1)
em Python, e daí calcular o erro absoluto e o erro relativo.Conteúdo envolvido:
- Série de Taylor para
. - Fatorial (
). - Definição de erro absoluto e erro relativo.
Vamos precisar entender esses conceitos do zero e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, lembra que a série de Taylor (em torno de zero) para
é:
Isso significa que a gente soma infinitos termos
. Como a gente quer só os 4 primeiros, paramos em
. Ou seja, vamos usar
Passo 3
Hora de calcular cada pedacinho:
-
, então . -
, então . -
, então . -
, então .
Somando tudo:
Passo 4
Agora, precisamos do valor “certo” de
, que em Python é
math.exp(1)
. Esse valor é, com várias casas:Definições de erro:
- Erro absoluto:
- Erro relativo:
Passo 5
Vamos calcular esses erros:
Passo 6
Se quiser ver isso num programinha em Python, seria algo como:
import math
# aproximação com 4 termos da série de Taylor
aprox = sum(1/math.factorial(n) for n in range(4))
# valor exato
verdadeiro = math.exp(1)
# erros
erro_abs = abs(aprox - verdadeiro)
erro_rel = erro_abs / abs(verdadeiro)
print(aprox, verdadeiro, erro_abs, erro_rel)
Resposta
Aproximação (4 termos): 2,6666667
Valor exato (
Erro absoluto: ≈ 0,0516151
Erro relativo: ≈ 0,01898 (1,898%)
Valor exato (
math.exp(1)
): 2,7182818…Erro absoluto: ≈ 0,0516151
Erro relativo: ≈ 0,01898 (1,898%)