Explique as diferenças entre os seguintes tipos de erros:
Erro de truncamento
Erro de truncamento
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra explicar o que é “erro de truncamento” e em que ele difere de outros erros numéricos (tipo o erro de arredondamento). O assunto é Análise Numérica, mais especificamente os tipos de erro que aparecem quando a gente faz aproximações em computador. Para resolver, vamos precisar entender o que cada erro significa, de onde vem e como distinguir um do outro.
Passo 2
O que é erro de truncamento?
- Na Análise Numérica, às vezes a gente substitui um cálculo exato por uma aproximação “mais simples”. Por exemplo, para aproximar
, usamos a série de Taylor e paramos em certo número de termos: e ignoramos . - Esse descarte de termos “lá na frente” é justamente o truncamento. O erro de truncamento é a diferença entre o valor exato e a soma dos termos que a gente manteve. No exemplo acima,
- Em outras palavras, é o preço de parar um método iterativo ou uma série em certo ponto. Ele depende de quantos termos a gente considera e do tamanho do passo (em métodos de diferença finita, por exemplo).
Passo 3
E o erro de arredondamento?
- Esse aqui vem da representação finita de números no computador. Por exemplo, em ponto-flutuante de dupla precisão, todo número tem só 53 bits de mantissa. Se você tentar guardar
, ele vira algo como 3,141592653589793. O “restinho” que não cabe é jogado fora ou arredondado. - Então, erro de arredondamento é a diferença entre o valor exato e o que a máquina consegue armazenar. Ele acontece em cada operação (+, –, ×, ÷) e se acumula ao longo de um cálculo.
Passo 4
Principais diferenças
- Causa
- Truncamento: por parar um método/serie/passo numérico antes do “ideal”.
- Arredondamento: por representar números com precisão limitada na máquina.
- Controle
- Truncamento: você controla aumentando termos ou refinando passo.
- Arredondamento: você só muda o formato numérico (ex.: maior precisão) ou reorganiza operações para minimizar acúmulo.
- Comportamento
- Truncamento geralmente decresce conforme a gente refina o método (mais termos, passo menor).
- Arredondamento pode se acumular de maneira imprevisível se a gente fizer muitas operações.
Resposta
O erro de truncamento aparece quando a gente “corta” uma série ou método numérico em certo ponto, deixando de lado termos ou iterações, enquanto o erro de arredondamento surge por limitar a quantidade de dígitos que o computador usa para representar um número. Truncamento é controlado refinando o método (mais termos, passo menor) e tende a zero conforme refinamos; arredondamento depende da precisão do formato (bits) e se acumula a cada operação.