Compare as declividades de um canal semicircular escoando cheio e de um canal retangular de mesma largura, mesma área molhada, mesmo revestimento e transportando a mesma vazão em regime permanente e uniforme.
[
\mathrm{R}: \mathrm{I}{\mathrm{c}} / \mathrm{I}{\mathrm{r}}=0,84

Passo 1

Beleza! A questão pede pra comparar as declividades (slope) de dois canais em escoamento uniforme e permanente, usando Manning:
  • um canal semicircular cheio;
  • um canal retangular com a mesma largura, mesma área molhada, mesmo rugosidade e mesma vazão.
    Conteúdo que vamos usar:
  1. Fórmulas de área Q = 1n,A,R^2/3,S^1/2 e perímetro molhado na geometria de cada canal.
  2. Definição de raio hidráulico .
  3. Equação de Manning para regime uniforme:
Queremos achar a razão .

Passo 2

Calcular Ac = pi,D^28 para o canal semicircular cheio.
  • Se o diâmetro da semicircunferência é Pc = pi,D2 , pois o canal retangular terá a mesma largura Rc = AcPc = pi D^28pi D2 = D4 .
  • Área da meia-circunferência:
  • Perímetro molhado (meia circunferência):
  • Logo o raio hidráulico:

Passo 3

Calcular Ar = b,y = pi D^28 ;Longrightarrow; y = pi D^28,b = pi D8 para o canal retangular.
  • Largura Pr = b + 2,y = D + 2!l(tfracpi D8r) = Dl(1 + pi4r) .
  • Como a área molhada Rr = ArPr = pi D^28Dl(1 + pi4r) = pi D8l(1 + tfracpi4r) = pi D8 + 2pi é igual à , temos
  • Perímetro molhado retangular:
  • Então

Passo 4

Agora usamos Manning em regime uniforme. Como A,Rc^2/3,Sc^1/2 ;=; A,Rr^2/3,Sr^1/2 Longrightarrow Rc^2/3,Sc^1/2 =Rr^2/3,Sr^1/2 , ScSr =l(RrRcr)^4/3 e são iguais,
Isolando a razão de declividades:

Passo 5

Calcular numericamente
RrRc = pi D8+2piD4 = 4pi8 + 2pi = 2pi4 + pi approx 0,879
e então
ScSr =(0,879)^4/3 approx 0,84

Resposta

boxedScSr approx 0,84
Ou seja, para manter a mesma vazão, o canal semicircular cheio precisa de uma declividade cerca de 84% daquela do canal retangular.

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