Compare as declividades de um canal semicircular escoando cheio e de um canal retangular de mesma largura, mesma área molhada, mesmo revestimento e transportando a mesma vazão em regime permanente e uniforme.
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\mathrm{R}: \mathrm{I}{\mathrm{c}} / \mathrm{I}{\mathrm{r}}=0,84
\mathrm{R}: \mathrm{I}{\mathrm{c}} / \mathrm{I}{\mathrm{r}}=0,84
Passo 1
Beleza! A questão pede pra comparar as declividades (slope) de dois canais em escoamento uniforme e permanente, usando Manning:
- um canal semicircular cheio;
- um canal retangular com a mesma largura, mesma área molhada, mesmo rugosidade e mesma vazão.
Conteúdo que vamos usar:
- Fórmulas de área
e perímetro molhado na geometria de cada canal. - Definição de raio hidráulico
. - Equação de Manning para regime uniforme:
Queremos achar a razão
.
Passo 2
Calcular
para o canal semicircular cheio.
- Se o diâmetro da semicircunferência é
, pois o canal retangular terá a mesma largura . - Área da meia-circunferência:
- Perímetro molhado (meia circunferência):
- Logo o raio hidráulico:
Passo 3
Calcular
para o canal retangular.
- Largura
. - Como a área molhada
é igual à , temos
- Perímetro molhado retangular:
- Então
Passo 4
Agora usamos Manning em regime uniforme. Como
,
e
são iguais,
Isolando a razão de declividades:
Passo 5
Calcular numericamente
e então
Resposta
Ou seja, para manter a mesma vazão, o canal semicircular cheio precisa de uma declividade cerca de 84% daquela do canal retangular.