8 1 7 - Uma galeria de águas pluviais de diâmetro D transporta uma determinada vazão com uma área molhada tal que Rh=D / 6. Nessas condições, calcule as relações V / Vp e Q / Qp.
[
\mathrm{R}: \mathrm{Q} / \mathrm{Q}{\mathrm{p}}=0,183 ; \mathrm{V} / \mathrm{V}{\mathrm{p}}=0,762

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos um cano circular de diâmetro D, tá com um escoamento parcial cujo raio hidráulico é
Rh = D6
A gente quer comparar a velocidade média V e a vazão Q desse escoamento parcial com os valores correspondentes para o cano completamente cheio, ou seja, calcular
VVp e QQp
Conteúdo: hidráulica de condutos circulares, raio hidráulico, fórmula de Manning e geometria de seção circular parcial.

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula de Manning para velocidade média em conduto uniforme:
V = 1n,Rh^2/3,S^1/2,
onde n e S são iguais nos dois casos (parcial e cheio). Então o quociente de velocidades é
VVp = l(RhRh,pr)^2/3

Passo 3

No conduto completamente cheio, o raio hidráulico é
Rh,p = ApPp = pi D^2/4pi D = D4
Como no parcial RhRh,p = D/6D/4 = 46 = 23 , temos
VVp = l(tfrac23r)^2/3 approx 0,762
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Passo 4

Agora a vazão QQp = AAp;VVp . Para comparar com , escrevemos
Já temos , falta achar , ou seja, a razão entre a área molhada parcial e a área total do círculo.

Passo 5

Na seção parcial de ângulo central A = D^28,l(theta - sinthetar), (em rad), a área molhada é
P = D,theta2,
o perímetro molhado é
Rh = AP = (D^2/8)(theta-sintheta)(D,theta/2) = D4,theta-sinthetatheta
e assim
theta-sinthetatheta = 23 ;;Longrightarrow;; sintheta = theta3
Mas a gente sabe que , então

Passo 6

Essa equação theta approx 2,28 rad a gente resolve por tentativa e erro (ou método numérico) e encontra
AAp = tfracD^28(theta-sintheta)pi D^2/4 = theta-sintheta2pi approx 2,28-0,7572pi approx 0,2425
Então a razão das áreas é

Passo 7

Por fim,
QQp = AAp;VVp approx 0,2425times0,762 approx 0,183

Resposta

VVpapprox0,762, QQpapprox0,183

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