A impedância de um circuito RC paralelo ligado em um gerador AC é 600 Ohms , enquanto que o valor do Resistor é de 1 K Ohm. Calcule, a partir desses valores, qual é a reatância capacitiva do capacitor.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Dado: a impedância (módulo) do circuito RC paralelo ligada a um gerador AC é |Z|=600\\ \Omega.
  • Dado: o resistor vale R=1\\ \text{k}\Omega = 1000\\ \Omega.
  • Pedido: calcular a reatância capacitiva (módulo) X_C do capacitor.

Passo 2

Vamos entender e escrever a relação matemática que liga R, X_C e |Z| no circuito RC em paralelo.
  • Em circuito paralelo, trabalhamos convenientemente com admitância Y, que é o inverso da impedância Z:
Y=\frac{1}{Z}.
  • A admitância total de R em paralelo com um capacitor (reatância capacitiva -jX_C) é a soma das admitâncias individuais. A admitância do resistor é \dfrac{1}{R} (parte real) e a admitância do capacitor é \dfrac{1}{-jX_C} = j\left(-\dfrac{1}{X_C}\right) (parte imaginária). Escrevendo explicitamente:
Y=\frac{1}{R}-j\frac{1}{X_C}.
  • O módulo da admitância é
|Y|=\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^{2}+\left(\frac{1}{X_C}\right)^{2}}.
  • Como Z é o inverso de Y, o módulo da impedância é
|Z|=\frac{1}{|Y|}=\frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{X_C}\right)^{2}}}.
Essa é a fórmula que vamos usar para encontrar X_C.

Passo 3

Isolamos X_C a partir da fórmula anterior, passo a passo (álgebra simples):
  • Invertendo e elevando ao quadrado:
\frac{1}{|Z|^{2}}=\left(\frac{1}{R}\right)^{2}+\left(\frac{1}{X_C}\right)^{2}.
  • Isolando o termo com X_C:
\left(\frac{1}{X_C}\right)^{2}=\frac{1}{|Z|^{2}}-\frac{1}{R^{2}}.
  • Tomando raiz positiva (pois X_C é a magnitude positiva da reatância):
\frac{1}{X_C}=\sqrt{\frac{1}{|Z|^{2}}-\frac{1}{R^{2}}}
e portanto
X_C=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{|Z|^{2}}-\dfrac{1}{R^{2}}}}.
Essa é a expressão final algébrica que nos permite calcular X_C.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos e calculamos com cuidado (sem pular etapas):
  • Substituindo |Z|=600\\ \Omega e R=1000\\ \Omega:
\left(\frac{1}{X_C}\right)^{2}=\frac{1}{600^{2}}-\frac{1}{1000^{2}}.
  • Calculamos cada termo:
\frac{1}{600^{2}}=\frac{1}{360000},\qquad \frac{1}{1000^{2}}=\frac{1}{1000000}.
  • Fazendo a diferença com simplificação fracionária:
\frac{1}{360000}-\frac{1}{1000000}=\frac{1000000-360000}{360000\cdot1000000}=\frac{640000}{360000000000}.
  • Simplificando a fração:
\frac{640000}{360000000000}=\frac{64}{36000000}=\frac{16}{9000000}=\frac{16}{9}\times10^{-6}.
  • Assim
\left(\frac{1}{X_C}\right)^{2}=\frac{16}{9}\times10^{-6}.
  • Tomando raiz quadrada:
\frac{1}{X_C}=\sqrt{\frac{16}{9}\times10^{-6}}=\frac{4}{3}\times10^{-3}=0,001333\ldots
  • Finalmente,
X_C=\frac{1}{0,001333\ldots}=750\\ \Omega.

Passo 5

Fazemos uma verificação rápida para ganhar confiança (checar se volta |Z|=600\\ \Omega):
  • Fórmula alternativa (equivalente) para o módulo da impedância de dois elementos em paralelo é
|Z|=\frac{R\,X_C}{\sqrt{R^{2}+X_C^{2}}}.
  • Substituindo R=1000 e X_C=750:
|Z|=\frac{1000\cdot750}{\sqrt{1000^{2}+750^{2}}}=\frac{750000}{\sqrt{1000000+562500}}=\frac{750000}{\sqrt{1562500}}=\frac{750000}{1250}=600\\ \Omega,
que confirma o resultado.

Passo 6

Resumo rápido e dica de prova: você pode decorar a forma de trabalhar com admitância para paralelos: some as admitâncias (parte real + j parte imaginária), calcule o módulo de Y e inverta para obter |Z|. Se pedir X_C quando der |Z| e R, use a fórmula isolada que derivamos para X_C. Coragem — você já sabe como fazer isso passo a passo na prova!

Resposta

750\\ \Omega

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