- Compare sua expressão para a aceleração,
, com a expressão original para a posição,
. Mostre que uma é o negativo de uma constante (
) multiplicada pela outra, provando que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que a aceleração
é o negativo de uma constante
multiplicada pela posição
; isto é, mostrar que
Informações que vamos usar (estas são as formas usuais da solução de movimento harmônico simples; se você já tinha uma forma equivalente, o raciocínio abaixo vale da mesma forma):
onde
e
são constantes (determindas pelas condições iniciais) e
é uma constante (a chamada frequência angular). Alternativamente, a mesma família de soluções pode ser escrita como
com
e
constantes. O objetivo é calcular
e comparar com
para obter a relação pedida.
Passo 2
Relembrar regras básicas de derivação que usaremos (aula rápida antes do cálculo):
- Derivada de
é . Isso vem da regra da cadeia: se então e . - Derivada de
é . - Para
, temos porque é constante. Assim:
Essas fórmulas são as que usaremos para derivar
uma e duas vezes.
Passo 3
Calcular a velocidade
derivando termo a termo a expressão geral
Usando as fórmulas do passo anterior:
Somando os termos:
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 4
Calcular a aceleração
diferenciando
. Vamos derivar termo a termo a expressão não factorizada:
Derivando o primeiro termo:
. A derivada de
é
, então
Derivando o segundo termo:
. A derivada de
é
, então
Somando as duas derivadas obtemos
Passo 5
Fatorar
na expressão de
:
Mas o parêntese é exatamente
, pela definição inicial. Logo
Isto completa a demonstração para a forma
.
Passo 6
Alternativa compacta (mesma ideia, forma
): se
então
Mesma conclusão. Pequena interpretação física: a aceleração aponta para o sentido oposto ao deslocamento e tem magnitude proporcional ao deslocamento por
— característica do movimento harmônico simples. Vai dar tudo certo na prova, respira e pratique mais alguns exemplos!