1. Compare sua expressão para a aceleração, a(t), com a expressão original para a posição, x(t). Mostre que uma é o negativo de uma constante ( \omega^{2} ) multiplicada pela outra, provando que a(t)=-\omega^{2} x(t).

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que a aceleração a(t) é o negativo de uma constante \omega^{2} multiplicada pela posição x(t); isto é, mostrar que
a(t) = -\omega^{2} x(t).
Informações que vamos usar (estas são as formas usuais da solução de movimento harmônico simples; se você já tinha uma forma equivalente, o raciocínio abaixo vale da mesma forma):
x(t) = C_{1}\cos(\omega t) + C_{2}\sin(\omega t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes (determindas pelas condições iniciais) e \omega é uma constante (a chamada frequência angular). Alternativamente, a mesma família de soluções pode ser escrita como
x(t) = A\cos(\omega t + \varphi),
com A e \varphi constantes. O objetivo é calcular a(t)=x''(t) e comparar com x(t) para obter a relação pedida.

Passo 2

Relembrar regras básicas de derivação que usaremos (aula rápida antes do cálculo):
  • Derivada de \cos(u(t)) é -u'(t)\sin(u(t)). Isso vem da regra da cadeia: se y=\cos(u) então \mathrm{d}y/\mathrm{d}t = (\mathrm{d}y/\mathrm{d}u)\cdot(\mathrm{d}u/\mathrm{d}t) e \mathrm{d}(\cos u)/\mathrm{d}u = -\sin u.
  • Derivada de \sin(u(t)) é u'(t)\cos(u(t)).
  • Para u(t)=\omega t, temos u'(t)=\omega porque \omega é constante. Assim:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cos(\omega t) = -\omega\sin(\omega t),
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sin(\omega t) = \omega\cos(\omega t).
Essas fórmulas são as que usaremos para derivar x(t) uma e duas vezes.

Passo 3

Calcular a velocidade v(t)=x'(t) derivando termo a termo a expressão geral
x(t) = C_{1}\cos(\omega t) + C_{2}\sin(\omega t).
Usando as fórmulas do passo anterior:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(C_{1}\cos(\omega t)\big) = C_{1}\big(-\omega\sin(\omega t)\big) = -C_{1}\omega\sin(\omega t),
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(C_{2}\sin(\omega t)\big) = C_{2}\big(\omega\cos(\omega t)\big) = C_{2}\omega\cos(\omega t).
Somando os termos:
v(t)=x'(t) = -C_{1}\omega\sin(\omega t) + C_{2}\omega\cos(\omega t).
Podemos fatorar \omega se quisermos:
v(t) = \omega\big(-C_{1}\sin(\omega t) + C_{2}\cos(\omega t)\big).

Passo 4

Calcular a aceleração a(t)=x''(t)=v'(t) diferenciando v(t). Vamos derivar termo a termo a expressão não factorizada:
v(t) = -C_{1}\omega\sin(\omega t) + C_{2}\omega\cos(\omega t).
Derivando o primeiro termo: -C_{1}\omega\sin(\omega t). A derivada de \sin(\omega t) é \omega\cos(\omega t), então
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(-C_{1}\omega\sin(\omega t)\big) = -C_{1}\omega\cdot\omega\cos(\omega t) = -C_{1}\omega^{2}\cos(\omega t).
Derivando o segundo termo: C_{2}\omega\cos(\omega t). A derivada de \cos(\omega t) é -\omega\sin(\omega t), então
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(C_{2}\omega\cos(\omega t)\big) = C_{2}\omega\cdot(-\omega\sin(\omega t)) = -C_{2}\omega^{2}\sin(\omega t).
Somando as duas derivadas obtemos
a(t)=x''(t) = -C_{1}\omega^{2}\cos(\omega t) - C_{2}\omega^{2}\sin(\omega t).

Passo 5

Fatorar -\omega^{2} na expressão de a(t):
a(t) = -\omega^{2}\big(C_{1}\cos(\omega t) + C_{2}\sin(\omega t)\big).
Mas o parêntese é exatamente x(t), pela definição inicial. Logo
a(t) = -\omega^{2} x(t).
Isto completa a demonstração para a forma x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t).

Passo 6

Alternativa compacta (mesma ideia, forma A\cos(\omega t+\varphi)): se
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
então
x'(t) = -A\omega\sin(\omega t+\varphi),
x''(t) = -A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi) = -\omega^{2}x(t).
Mesma conclusão. Pequena interpretação física: a aceleração aponta para o sentido oposto ao deslocamento e tem magnitude proporcional ao deslocamento por \omega^{2} — característica do movimento harmônico simples. Vai dar tudo certo na prova, respira e pratique mais alguns exemplos!

Resposta

a(t) = -\omega^{2} x(t)

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