- No lado da consequência, reescreva a aceleração
em sua linguagem fundamental do cálculo: a segunda derivada da posição,
.
- Una as duas partes e reorganize a equação para que todos os termos fiquem do mesmo lado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Reescrever a aceleração
na linguagem fundamental do cálculo, isto é, expressá‑la como derivada de ordem dois da posição em relação ao tempo. - Unir as duas partes (o “lado da causa” — normalmente a soma das forças — e o “lado da consequência” — a aceleração) e reorganizar a equação para que todos os termos fiquem do mesmo lado.
As informações relevantes que temos (implícitas no pedido) são:
- Existe uma variável de posição
que depende do tempo . - Existe a aceleração
ligada a . - Há um relacionamento tipo “massa vezes aceleração = soma das forças”, que é o ponto que vamos juntar e reorganizar.
Não precisamos de dados numéricos para responder simbolicamente essas duas instruções.
Passo 2
O que significa escrever a aceleração na linguagem do cálculo?
- A posição é uma função do tempo, escrevemos
. - A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
. - A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é, a segunda derivada da posição:
Explicando devagar: primeiro diferenciamos
para obter
(variação instantânea de posição → velocidade). Depois diferenciamos essa velocidade para obter
(variação instantânea da velocidade → aceleração). Um exemplo curto para fixar: se
, então
e
, ou seja
.
Passo 3
Agora substituímos essa expressão de
na equação dinâmica típica. A forma geral da segunda lei de Newton escrita simbolicamente é
onde:
-
é a massa (constante), -
é a aceleração, -
é a soma das forças atuantes (pode depender de , e de ).
Substituindo
obtemos
Isto é só a substituição direta: trocamos o símbolo
pela sua definição em derivadas.
Passo 4
Agora vamos unir as duas partes e reorganizar para que todos os termos fiquem do mesmo lado. Do passo anterior temos
Subtraindo
de ambos os lados, colocamos tudo no lado esquerdo:
Para ver um caso concreto (muito comum em provas): suponha que as forças sejam composto por mola linear, amortecimento viscoso e força externa, com convenções de sinal tais que
onde
é a constante da mola,
o coeficiente de amortecimento e
uma força externa conhecida. Substituindo na equação e reorganizando:
Essa é a forma padrão em que “todos os termos ficam do mesmo lado”. É comum, para simplificar a análise, dividir por
e escrever na forma normalizada
onde
e
(isso é apenas uma reparametrização útil, não obrigatória).
Resposta
(exemplo concreto)