1. No lado da consequência, reescreva a aceleração a em sua linguagem fundamental do cálculo: a segunda derivada da posição, a=d^{2} x / d t^{2}.
  2. Una as duas partes e reorganize a equação para que todos os termos fiquem do mesmo lado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Reescrever a aceleração a na linguagem fundamental do cálculo, isto é, expressá‑la como derivada de ordem dois da posição em relação ao tempo.
  2. Unir as duas partes (o “lado da causa” — normalmente a soma das forças — e o “lado da consequência” — a aceleração) e reorganizar a equação para que todos os termos fiquem do mesmo lado.
As informações relevantes que temos (implícitas no pedido) são:
  • Existe uma variável de posição x que depende do tempo t.
  • Existe a aceleração a ligada a x.
  • Há um relacionamento tipo “massa vezes aceleração = soma das forças”, que é o ponto que vamos juntar e reorganizar.
    Não precisamos de dados numéricos para responder simbolicamente essas duas instruções.

Passo 2

O que significa escrever a aceleração na linguagem do cálculo?
  • A posição é uma função do tempo, escrevemos x = x(t).
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \dfrac{dx}{dt}.
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é, a segunda derivada da posição:
a = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{dx}{dt}\right) = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Explicando devagar: primeiro diferenciamos x(t) para obter \dfrac{dx}{dt} (variação instantânea de posição → velocidade). Depois diferenciamos essa velocidade para obter \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} (variação instantânea da velocidade → aceleração). Um exemplo curto para fixar: se x(t)=t^{2}, então \dfrac{dx}{dt}=2t e \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=2, ou seja a=2.

Passo 3

Agora substituímos essa expressão de a na equação dinâmica típica. A forma geral da segunda lei de Newton escrita simbolicamente é
m\,a=\sum F,
onde:
  • m é a massa (constante),
  • a é a aceleração,
  • \sum F é a soma das forças atuantes (pode depender de x, \dfrac{dx}{dt} e de t).
Substituindo a=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} obtemos
m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\sum F.
Isto é só a substituição direta: trocamos o símbolo a pela sua definição em derivadas.

Passo 4

Agora vamos unir as duas partes e reorganizar para que todos os termos fiquem do mesmo lado. Do passo anterior temos
m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\sum F.
Subtraindo \sum F de ambos os lados, colocamos tudo no lado esquerdo:
m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-\sum F=0.
Para ver um caso concreto (muito comum em provas): suponha que as forças sejam composto por mola linear, amortecimento viscoso e força externa, com convenções de sinal tais que
\sum F = -k\,x - c\,\frac{dx}{dt} + F_{\text{ext}}(t),
onde k é a constante da mola, c o coeficiente de amortecimento e F_{\text{ext}}(t) uma força externa conhecida. Substituindo na equação e reorganizando:
m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k\,x - c\,\frac{dx}{dt} + F_{\text{ext}}(t)
\Rightarrow m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + c\,\frac{dx}{dt} + k\,x - F_{\text{ext}}(t) = 0.
Essa é a forma padrão em que “todos os termos ficam do mesmo lado”. É comum, para simplificar a análise, dividir por m e escrever na forma normalizada
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\zeta\omega_{n}\frac{dx}{dt} + \omega_{n}^{2}x = \frac{1}{m}F_{\text{ext}}(t),
onde \omega_{n}=\sqrt{\dfrac{k}{m}} e 2\zeta\omega_{n}=\dfrac{c}{m} (isso é apenas uma reparametrização útil, não obrigatória).

Resposta

\displaystyle a=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}
\displaystyle m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-\sum F=0
(exemplo concreto) \displaystyle m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+c\,\frac{dx}{dt}+k\,x-F_{\text{ext}}(t)=0

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