Você está projetando a suspensão de um carro de corrida de m=800 \mathrm{~kg}. As molas têm uma constante total de k=4 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Sua missão é projetar o sistema de amortecedores.
Análise de um Cenário Ruim: Um concorrente usa amortecedores com metade do valor de b que você calculou. O sistema dele será subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido? Calcule a frequência amortecida ( \omega^{\prime} ) com que o carro dele irá oscilar após passar por um solavanco.

Passo 1

O enunciado pede que você analise um caso em que um concorrente usa amortecedores com metade do valor de b que você projetou. Ele quer saber:
  1. Se o sistema do concorrente será subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido.
  2. A frequência amortecida \omega' com que o carro dele irá oscilar após passar por um solavanco.
Informações dadas:
  • Massa do carro: m=800\\ \mathrm{kg}.
  • Constante total das molas: k=4\times 10^{5}\\ \mathrm{N/m}.
  • O concorrente usa b_{\text{conc}} = \tfrac{1}{2}\,b_{\text{projetado}}. Como normalmente o projeto padrão visa amortecimento crítico (veremos porque), vamos calcular primeiro o amortecimento crítico e depois usar metade dele para o concorrente.

Passo 2

Vamos modelar o sistema massa-mola-amortecedor e apresentar as fórmulas que precisamos (explicando cada coisa).
Equação do movimento para uma massa ligada a uma mola e a um amortecedor linear (deslocamento x(t) medido a partir do equilíbrio):
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0.
Significado dos termos:
  • m é a massa (em \mathrm{kg}).
  • b é o coeficiente de amortecimento viscoso (em \mathrm{N\cdot s/m}).
  • k é a constante da mola (em \mathrm{N/m}).
  • \dot{x} é a velocidade, \ddot{x} é a aceleração.
A frequência natural (não amortecida) do sistema é
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.
O amortecimento crítico (valor de b que separa oscilações de não-oscilações) é
b_{\mathrm{crit}} = 2m\omega_0.
Definimos a razão de amortecimento (damping ratio)
\zeta = \frac{b}{b_{\mathrm{crit}}} = \frac{b}{2m\omega_0}.
Classificação:
  • Se \zeta<1 o sistema é subamortecido (oscilações amortecidas).
  • Se \zeta=1 é criticamente amortecido (retorno sem oscilar, mais rápido sem oscilar).
  • Se \zeta>1 é superamortecido (retorno sem oscilar, mais lento que crítico).
Para \zeta<1 a frequência angular das oscilações amortecidas é
\omega'=\omega_0\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Tudo isso são fórmulas padrão de oscilador harmônico linear amortecido; agora aplicamos aos números.

Passo 3

Calculemos primeiro a frequência natural \omega_0.
Usando m=800 e k=4\times 10^{5}:
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{4\times 10^{5}}{800}} = \sqrt{500}.
Como \sqrt{500}=\sqrt{100\cdot 5}=10\sqrt{5}, temos numericamente
\omega_0 = 10\sqrt{5}\\ \mathrm{rad/s}\approx 22{,}36067977\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Agora calculamos o amortecimento crítico b_{\mathrm{crit}}.
b_{\mathrm{crit}} = 2m\omega_0 = 2\cdot 800\cdot \omega_0 = 1600\cdot \omega_0.
Substituindo \omega_0:
b_{\mathrm{crit}} = 1600\cdot 22{,}36067977\\ \mathrm{N\cdot s/m}\approx 35777{,}0876\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
Interpretação rápida (amigo): se você projetou os amortecedores para o valor crítico b_{\mathrm{crit}}, o carro voltaria ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. Muitos projetos escolhem \zeta entre 0,2 e 1 por conforto/controle, mas a referência matemática é o valor crítico acima.

Passo 5

O concorrente usa metade do valor de b que você calculou. Se presumimos que você projetou b_{\text{projetado}}=b_{\mathrm{crit}}, então
b_{\text{conc}} = \frac{1}{2}b_{\mathrm{crit}}.
Logo a razão de amortecimento dele é
\zeta_{\text{conc}} = \frac{b_{\text{conc}}}{b_{\mathrm{crit}}} = \frac{1}{2}.
Como \zeta_{\text{conc}}=\tfrac{1}{2}<1, o sistema do concorrente é subamortecido (isto é, oscila com amplitude decrescente).

Passo 6

Calculemos a frequência amortecida \omega' do concorrente usando a fórmula para \zeta<1:
\omega' = \omega_0\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Aqui \zeta=\tfrac{1}{2}, então
\omega' = \omega_0\sqrt{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}} = \omega_0\sqrt{1-\tfrac{1}{4}} = \omega_0\sqrt{\tfrac{3}{4}} = \omega_0\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo \omega_0\approx 22{,}36067977\\ \mathrm{rad/s}:
\omega' \approx 22{,}36067977\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{rad/s}\approx 19{,}36491673\\ \mathrm{rad/s}.
Podemos arredondar de forma agradável para duas casas decimais:
\omega' \approx 19{,}36\\ \mathrm{rad/s}.
Se quiser traduzir para o período das oscilações (apenas para intuição), o período amortecido é T'=\dfrac{2\pi}{\omega'}\approx 0{,}3247\\ \mathrm{s}, mas isso é extra — o problema pediu \omega'.

Resposta

Subamortecido
\displaystyle \omega'\approx 19{,}36\\ \mathrm{rad/s}

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