1. Se ambas as equações são verdadeiras, o que podemos concluir sobre a relação entre \omega^{2} e os parâmetros físicos k e m ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Se ambas as equações são verdadeiras, o que podemos concluir sobre a relação entre \omega^{2} e os parâmetros físicos k e m?”
Informações fornecidas: o enunciado apenas pergunta a relação, mas as duas equações às quais se refere não foram explicitadas aqui. Para poder responder de forma útil, vou assumir as duas equações mais comuns nesse contexto (se parecem com as que o seu professor costuma dar): a equação de movimento para uma massa presa a uma mola e a forma de solução harmônica. Especificamente, assumo as duas equações abaixo como dadas:
m\ddot{x} = -k x
e
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Observação: estou explicando essa suposição porque sem saber quais são as “duas equações” não há como tirar conclusão; se as equações reais forem outras, o raciocínio muda.

Passo 2

Explicando cada peça (devagar e com calma):
  • Na equação \;m\ddot{x} = -k x\;, \;m\; é a massa (em kg), \;k\; é a constante elástica da mola (em N/m), x(t) é o deslocamento da massa em função do tempo e \ddot{x} é a derivada segunda de x em relação ao tempo (a aceleração). Essa equação vem da segunda lei de Newton ( F=ma) combinada com a lei de Hooke ( F=-kx): a força elástica aponta para o equilíbrio e tem módulo proporcional ao deslocamento.
  • Na solução assumida \;x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;, A é a amplitude (constante), \omega é a frequência angular (em rad/s) que queremos relacionar com k e m, e \varphi é a fase inicial. Essa forma é a típica solução de um movimento oscilatório harmônico.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada de x(t) (vou mostrar passo a passo):
Primeira derivada:
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\big(A\cos(\omega t+\varphi)\big) = -A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Segunda derivada:
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}\big(-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\big) = -A\omega\cdot\omega\cos(\omega t+\varphi) = -A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Como x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), fica claro que
\ddot{x}(t) = -\omega^{2} x(t).

Passo 4

Substituímos essa expressão de \ddot{x} na equação de movimento m\ddot{x} = -k x:
m\big(-\omega^{2} x\big) = -k x.
Simplificando o sinal negativo em ambos os lados:
m\omega^{2} x = k x.
Se a solução não for trivial (isto é, se a amplitude A\neq 0, então x(t) não é identicamente zero), podemos dividir por x (ou pensar em um instante em que x\neq 0) e obter:
m\omega^{2} = k.

Passo 5

Isolando \omega^{2}, temos a relação desejada:
\omega^{2} = \frac{k}{m}.
Explicação física e verificação de unidades: \;k\; tem unidades \text{N}/\text{m} = \text{kg}\cdot\text{s}^{-2} e \;m\; tem unidades \text{kg}; assim \;k/m\; tem unidades \text{s}^{-2}, compatível com \omega^{2}. Além disso, para que \omega^{2} seja positivo (movimento oscilatório harmônico), precisamos de k>0 e m>0, o que faz sentido fisicamente.

Resposta

\omega^{2}=\dfrac{k}{m}

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