Compare as formas dos orbitais nos seguintes pares:
1 s e 2 s.

Passo 1

O enunciado pede: comparar as formas dos orbitais 1s e 2s.
Informações dadas / assumidas (peguei a convenção usual de orbitais atômicos tipo hidrogenoide):
  • Tratam‑se de orbitais com número quântico principal n e azimutal l: para 1s tem n=1,\;l=0; para 2s tem n=2,\;l=0.
  • Não foi especificado outro átomo, então uso as funções radiais do átomo de hidrogênio (hidrogenoide), que são as formas padrão ensinadas para comparar formatos.

Passo 2

O que é um orbital (forma geral) e o que cada parte significa.
A função de onda de um orbital atômico pode ser escrita como
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)\,Y_{l}^{m}(\theta,\varphi),
onde:
  • R_{n,l}(r) é a parte radial — depende só da distância r ao núcleo;
  • Y_{l}^{m}(\theta,\varphi) é a parte angular (harmônicos esféricos) — descreve a distribuição angular e a forma dos “lóbulos” em torno do núcleo;
  • n é o número quântico principal, l o azimutal, m o magnético.
    Explicando de um jeito direto: a forma do orbital no espaço é produto de “como varia com r” e “como varia com ângulos”.

Passo 3

Característica angular dos orbitais s ( l=0).
  • Para l=0 o harmônico esférico é constante: Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)= constante (independente de \theta,\varphi).
  • Isso significa que ambos 1s e 2s são esfericamente simétricos: não há direção privilegiada — a densidade depende só de r.
    Logo, qualquer diferença entre 1s e 2s será totalmente na parte radial R_{n,0}(r).

Passo 4

Formas explícitas das partes radiais (hidrogênio, normalizadas) e interpretação das constantes.
As partes radiais (forma padrão) são:
R_{1,0}(r)=2\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}e^{-r/a_0},
R_{2,0}(r)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)},
onde a_0 é o raio de Bohr ( a_0\approx0,529\\ \text{\AA}).
Breve explicação dos fatores:
  • O fator exponencial controla a queda com r;
  • Os polinômios em r (aqui 2-\tfrac{r}{a_0} no 2s) criam possíveis zeros (nós) na parte radial;
  • Os prefatores garantem normalização (total da probabilidade igual a 1).

Passo 5

Nó radial do orbital 2s — onde a função de onda se anula.
Para encontrar nós radiais, resolve‑se R_{n,l}(r)=0. No caso do 2s:
R_{2,0}(r)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2-\frac{r}{a_0}=0.
Assim o nó radial está em
r=2a_0.
Interpretação física: existe uma superfície esférica de raio 2a_0 onde a função de onda (e portanto a densidade de probabilidade) é zero. Para o 1s não há nós radiais, pois R_{1,0}(r) nunca se anula para r>0.

Passo 6

Densidade radial de probabilidade e aparência das “lóbulo(s)”.
A densidade radial (probabilidade por intervalo radial) é
P(r)=r^2\left|R_{n,l}(r)\right|^2.
Características práticas:
  • Para 1s: P(r) tem um único máximo próximo do núcleo e decai exponencialmente para zero quando r\to\infty. Geometricamente é um único “lóbulo” esférico, concentrado perto do núcleo, sem nós radiais.
  • Para 2s: R_{2,0}(r) muda de sinal ao atravessar r=2a_0. Isso produz dois “lóbulos” esféricos concêntricos na densidade radial: um lóculo interno (próximo ao núcleo), depois o nó (densidade zero em r=2a_0), e um lóculo externo (mais difuso) para r>2a_0. O lóculo externo é mais espalhado que o do 1s.

Passo 7

Comparação de tamanhos típicos (valor médio de r).
Uma maneira quantitativa de dizer “qual é mais extenso” é usar o valor médio \langle r\rangle. Para orbitais de hidrogênio:
\langle r\rangle_{1s}=\tfrac{3}{2}a_0, \qquad \langle r\rangle_{2s}=6a_0.
Conclusão: o 2s é muito mais estendido (média de distância ao núcleo maior) do que o 1s.

Passo 8

Resumo físico intuitivo e observações úteis para a prova (dicas rápidas).
  • Ambos são esféricos (mesma simetria angular).
  • Diferença essencial: número de nós radiais dado por n-l-1. Para 1s isso dá 0; para 2s 1. Decorar essa fórmula é muito útil na prova.
  • Visualize: 1s = uma “bola” esférica de densidade decrescente; 2s = “bola interna” + superfície nula (nó) + “casca externa” mais difusa.
  • Importância prática: o nó do 2s causa mudança de sinal da função de onda (relevante em interferência e em química para sobreposição entre orbitais).

Resposta

O orbital 1s é esfericamente simétrico sem nós radiais: tem um único lóculo esférico de densidade máxima perto do núcleo que decai exponencialmente ( \langle r\rangle_{1s}=\tfrac{3}{2}a_0).
O orbital 2s também é esfericamente simétrico, mas possui um nó radial em r=2a_0, pelo que sua densidade mostra um lóculo interno e um lóculo externo separados por essa superfície nula; o 2s é mais extenso ( \langle r\rangle_{2s}=6a_0).

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