Compare as formas dos orbitais nos seguintes pares:
e
.
Passo 1
O enunciado pede: comparar as formas dos orbitais
e
.
Informações dadas / assumidas (peguei a convenção usual de orbitais atômicos tipo hidrogenoide):
Informações dadas / assumidas (peguei a convenção usual de orbitais atômicos tipo hidrogenoide):
- Tratam‑se de orbitais com número quântico principal
e azimutal : para tem ; para tem . - Não foi especificado outro átomo, então uso as funções radiais do átomo de hidrogênio (hidrogenoide), que são as formas padrão ensinadas para comparar formatos.
Passo 2
O que é um orbital (forma geral) e o que cada parte significa.
A função de onda de um orbital atômico pode ser escrita como
A função de onda de um orbital atômico pode ser escrita como
onde:
-
é a parte radial — depende só da distância ao núcleo; -
é a parte angular (harmônicos esféricos) — descreve a distribuição angular e a forma dos “lóbulos” em torno do núcleo; -
é o número quântico principal, o azimutal, o magnético.
Explicando de um jeito direto: a forma do orbital no espaço é produto de “como varia com” e “como varia com ângulos”.
Passo 3
Característica angular dos orbitais
(
).
- Para
o harmônico esférico é constante: constante (independente de ). - Isso significa que ambos
e são esfericamente simétricos: não há direção privilegiada — a densidade depende só de .
Logo, qualquer diferença entree será totalmente na parte radial .
Passo 4
Formas explícitas das partes radiais (hidrogênio, normalizadas) e interpretação das constantes.
As partes radiais (forma padrão) são:
As partes radiais (forma padrão) são:
onde
é o raio de Bohr (
).
Breve explicação dos fatores:
Breve explicação dos fatores:
- O fator exponencial controla a queda com
; - Os polinômios em
(aqui no ) criam possíveis zeros (nós) na parte radial; - Os prefatores garantem normalização (total da probabilidade igual a 1).
Passo 5
Nó radial do orbital
— onde a função de onda se anula.
Para encontrar nós radiais, resolve‑se . No caso do
:
Para encontrar nós radiais, resolve‑se
Assim o nó radial está em
Interpretação física: existe uma superfície esférica de raio
onde a função de onda (e portanto a densidade de probabilidade) é zero. Para o
não há nós radiais, pois
nunca se anula para
.
Passo 6
Densidade radial de probabilidade e aparência das “lóbulo(s)”.
A densidade radial (probabilidade por intervalo radial) é
A densidade radial (probabilidade por intervalo radial) é
Características práticas:
- Para
: tem um único máximo próximo do núcleo e decai exponencialmente para zero quando . Geometricamente é um único “lóbulo” esférico, concentrado perto do núcleo, sem nós radiais. - Para
: muda de sinal ao atravessar . Isso produz dois “lóbulos” esféricos concêntricos na densidade radial: um lóculo interno (próximo ao núcleo), depois o nó (densidade zero em ), e um lóculo externo (mais difuso) para . O lóculo externo é mais espalhado que o do .
Passo 7
Comparação de tamanhos típicos (valor médio de
).
Uma maneira quantitativa de dizer “qual é mais extenso” é usar o valor médio . Para orbitais de hidrogênio:
Uma maneira quantitativa de dizer “qual é mais extenso” é usar o valor médio
Conclusão: o
é muito mais estendido (média de distância ao núcleo maior) do que o
.
Passo 8
Resumo físico intuitivo e observações úteis para a prova (dicas rápidas).
- Ambos são esféricos (mesma simetria angular).
- Diferença essencial: número de nós radiais dado por
. Para isso dá ; para dá . Decorar essa fórmula é muito útil na prova. - Visualize:
= uma “bola” esférica de densidade decrescente; = “bola interna” + superfície nula (nó) + “casca externa” mais difusa. - Importância prática: o nó do
causa mudança de sinal da função de onda (relevante em interferência e em química para sobreposição entre orbitais).
Resposta
O orbital
é esfericamente simétrico sem nós radiais: tem um único lóculo esférico de densidade máxima perto do núcleo que decai exponencialmente (
).
O orbital também é esfericamente simétrico, mas possui um nó radial em
, pelo que sua densidade mostra um lóculo interno e um lóculo externo separados por essa superfície nula; o
é mais extenso (
).
O orbital