Desenhe um diagrama de contorno para cada um dos seguintes orbitais:
n=2, l=1

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe um diagrama de contorno para cada orbital com n=2 e l=1. Ou seja:
  • Devem ser desenhados os orbitais correspondentes a n=2,\, l=1.
  • Não foi dada figura, então devo explicar e indicar como fazer os desenhos (contornos) dos orbitais associados a esses números quânticos.
Informações relevantes que o enunciado dá (e que vou usar):
  • n=2 é o número quântico principal.
  • l=1 é o número quântico azimutal (orbital p).
  • Para cada l=1 existem três estados magnéticos m=-1,0,+1. As combinações lineares reais mais usadas são os orbitais 2p_x, 2p_y e 2p_z — vou tratar desses três, porque são os que normalmente se pede desenhar em contorno.

Passo 2

O que significam n, l e m de modo prático (explicação didática e rápida):
  • n controla a variação radial e o tamanho do orbital; quanto maior n, maior a extensão.
  • l determina a forma angular: l=0 → orbital s (esférico), l=1 → orbital p (duas lobulações com um nó angular).
  • m (valores -l,\ldots,+l) determina a orientação espacial das funções angulares; para l=1 temos três orientações possíveis. As funções Y_{1m}(\theta,\varphi) são, em geral, complexas, mas as combinações lineares reais fornecem os conhecidos p_x,p_y,p_z.

Passo 3

Quantos nós existem e onde ficam (parte importante para desenhar contornos):
  • Número de nós radiais = n-l-1. Para n=2,\, l=1:
\text{nós radiais} = 2-1-1 = 0.ó
Logo, NÃO há nós radiais (não há superfícies esféricas onde a função zera).
  • Número de nós angulares = l. Aqui l=1, então há um nó angular (uma superfície que passa pelo núcleo onde a função de onda vale zero). Para orbitais p essa superfície é um plano nodal (ex.: para p_z é o plano z=0).

Passo 4

Forma geral do orbital 2p (o que desenhar):
  • Um orbital 2p tem duas lobulações (duas “bolas”/“gotas”) localizadas em lados opostos do núcleo, com sinais opostos da função de onda (+ e −).
  • Entre as duas lobulações existe uma superfície nodal angular que passa pelo núcleo (um plano) onde a função de onda é zero.
  • Como não há nó radial, não aparece um anel ou camada adicional entre núcleo e região de máximo: a amplitude cresce a partir do núcleo até um máximo e depois decai exponencialmente.
Dica física simples para escala ao desenhar: a parte radial do 2p (para átomo de hidrogênio) tem a forma R_{21}(r)\propto r e^{-r/(2a_0)}. O máximo radial ocorre aproximadamente em
r_{\max}=2a_0,
onde a_0 é o raio de Bohr — isto serve só para posicionar qualitativamente onde a “maior” bolinha fica (não precisa calcular exatamente na prova, mas ajuda no esboço).

Passo 5

Como representar contornos (o que é um “diagrama de contorno” aqui):
  • Um contorno é traçar linhas (ou curvas) que ligam pontos de mesma amplitude da função de onda \psi (ou de |\psi|), em uma seção plana do espaço, tipicamente uma seção que contém o eixo do orbital (por exemplo, o plano xz ou yz).
  • Para orbitais p costuma-se desenhar uma seção bidimensional passando pelo núcleo e mostrar:
    • o núcleo (ponto na origem),
    • duas regiões lobadas simétricas (uma com sinal + e outra com sinal −),
    • o plano nodal (linha reta na seção) onde a função zera,
    • várias linhas concêntricas (ou elipses/semicírculos) que representam níveis de mesma amplitude indo do máximo até decair.
  • Marque o sinal (+/−) em cada lobo (por cores, hachuras, ou sinais + e ).

Passo 6

Instruções passo a passo para desenhar 2p_z (corresponde a m=0 ou combinação apropriada):
  1. Trace e marque os eixos z vertical e x horizontal no papel; o plano de corte será o plano xz (contém o eixo z).
  2. Coloque o núcleo na origem (um ponto no centro).
  3. Desenhe dois lóbulos simétricos ao longo do eixo z: um acima do núcleo (positivo, por exemplo) e outro abaixo (negativo).
  4. Entre os dois lóbulos, no plano z=0 (o plano xy visto na seção como uma linha horizontal que atravessa o núcleo), desenhe uma linha tracejada para indicar o plano nodal (onde \psi=0).
  5. Em cada lobo, faça curvas concêntricas (semicírculos centrados no eixo z) que indicam contornos de mesma |\psi|: as curvas mais internas correspondem à maior amplitude (próximo do máximo em r\approx 2a_0), e as mais externas mostram a caida da amplitude.
  6. Marque sinais: por exemplo, coloque um + na bolha superior e um na inferior (ou use cores diferentes).

Passo 7

Instruções para desenhar 2p_x e 2p_y (são combinações reais de m=\pm1):
  • 2p_x:
    1. Use o mesmo tipo de seção xz. Agora os lóbulos ficam orientados ao longo do eixo x.
    2. Desenhe dois lóbulos simétricos à direita e à esquerda do núcleo ao longo do eixo x.
    3. O plano nodal é o plano x=0 (o plano yz); na seção xz aparece como a linha vertical que passa pelo núcleo.
    4. Desenhe contornos concêntricos dentro de cada lobo e marque sinais opostos nas duas lobulações.
  • 2p_y:
    1. Faça a seção yz (ou descreva o 2p_y como o 2p_x rotacionado 90^\circ em torno do z).
    2. Lóbulos ao longo do eixo y (frente e trás na visão 2D), plano nodal y=0 (o plano xz).
    3. Se for desenhar no mesmo papel, basta rotacionar o 2p_x.
Observação sobre m=\pm1 complexos: as funções próprias com m=\pm1 são \propto e^{\pm i\varphi} e são complexas; em química costuma-se usar as combinações reais \propto \cos\varphi e \propto \sin\varphi que dão p_x e p_y — por isso eu descrevo p_x e p_y.

Passo 8

Pequeno resumo visual mental para cada desenho (para fazer rápido na prova):
  • Para cada orbital: desenhe o núcleo, desenhe duas bolhas iguais e opostas, desenhe a linha do plano nodal através do núcleo, adicione algumas linhas de contorno dentro de cada bolha e marque sinais + e .
  • Não há anéis adicionais (nenhum nó radial), então cada bolha é “simples”, sem cavidades internas.

Passo 9

Exemplos de legendas que você pode colocar ao lado do desenho (ajuda a pontuação na prova):
  • Escrever 2p_z e indicar plano nodal z=0.
  • Escrever 2p_x e indicar plano nodal x=0.
  • Escrever 2p_y e indicar plano nodal y=0.
  • Opcional: anotar r_{\max}\approx 2a_0 para dar escala aproximada.

Resposta

Desenhos de contorno para os orbitais n=2,\, l=1:
2p_z: duas lobulações ao longo do eixo z (uma acima e outra abaixo do núcleo), plano nodal z=0 (linha tracejada na seção), contornos concêntricos em cada lobo e sinais opostos + / .
2p_x: duas lobulações ao longo do eixo x (direita e esquerda do núcleo), plano nodal x=0, contornos concêntricos em cada lobo e sinais opostos + / .
2p_y: duas lobulações ao longo do eixo y (frente e trás na seção), plano nodal y=0, contornos concêntricos em cada lobo e sinais opostos + / .

Exercícios relacionados