Compare o “período” das oscilações de Friedel com o comprimento de blindagem (o “comprimento de Debye”), L_{D}, encontrado no exercício anterior, para o mesmo metal. Porque as oscilações de Friedel não aparecem na aproximação de Thomas-Fermi?
Passo 1
O que o exercício pede: comparar o “período” das oscilações de Friedel com o comprimento de blindagem (comprimento de Debye) L_{D} já encontrado para o mesmo metal, e explicar por que as oscilações de Friedel não aparecem na aproximação de Thomas–Fermi.
Informações relevantes que usaremos:
A densidade eletrônica do metal define o vetor de Fermi k_{F}.
As oscilações de Friedel têm uma oscilação espacial característica ligada a k_{F}.
O comprimento de blindagem (comprimento de Thomas–Fermi / “Debye” neste contexto) é L_{D}=1/k_{TF}, onde k_{TF} é o wavevector de Thomas–Fermi obtido pela resposta estática local do gás eletrônico.
Passo 2
Definição e período das oscilações de Friedel (aula rápida e concreta).
Conceito: quando um potencial pontual (impureza) é colocado no metal, a resposta linear da densidade de elétrons tem uma componente oscilatória no espaço que se origina da existência de uma superfície de Fermi bem definida. Essas oscilações são chamadas de oscilações de Friedel.
Forma geral em 3D (comportamento assintótico): a perturbação da densidade \delta n(r) para r grande tem a forma oscilatória
\delta n(r)\propto \frac{\cos(2k_{F}r)}{r^{3}},
ou seja, um cosseno com argumento 2k_{F}r multiplicado por uma queda em potência.
Período espacial P_{F} (distância entre máximos consecutivos): a função \cos(2k_{F}r) tem período
P_{F}=\frac{\pi}{k_{F}}.
Explicação física curta: o fator 2k_{F} aparece porque o scattering que gera a interferência envolve transições entre estados na vizinhança oposta da superfície de Fermi, produzindo contribuição dominante em q=2k_{F}.
Passo 3
Definição e expressão de L_{D} (comprimento de Thomas–Fermi / Debye) — revisar a fórmula e as quantidades envolvidas.
No modelo de Thomas–Fermi (linearizado) a blindagem é caracterizada por um wavevector k_{TF} dado por
Comentário didático: essa expressão resulta da resposta local — Thomas–Fermi relaciona a variação local do potencial com a variação local da densidade através da densidade de estados em E_F; é uma aproximação de resposta para ondas longas (pequenos q).
Passo 4
Comparação das escalas: escrevendo a razão entre L_{D} e o período das oscilações de Friedel P_{F}.
Esta forma mostra claramente como a razão depende apenas do produto adimensional k_{F}a_{0} (que por sua vez está relacionado ao parâmetro r_{s} do gás eletrônico).
Passo 5
Estimativa numérica típica e conclusão sobre qual escala é maior.
Valores típicos em metais simples: k_{F}a_{0} é da ordem de unidade fracionária; por exemplo para r_{s} típico entre 2 e 6 obtém-se k_{F}a_{0} da ordem de 0{,}3 a 1{,}0.
Tome um valor representativo k_{F}a_{0}\approx 0{,}5. Então
Interpretação: tipicamente L_{D} é algumas vezes menor que o período das oscilações de Friedel. Em outras palavras,
L_{D}\ll P_{F}=\frac{\pi}{k_{F}}
na maioria dos metais. Portanto o comprimento de blindagem (comprimento de Thomas–Fermi) é menor que a meia-onda de Friedel; as oscilações de Friedel têm comprimento de onda da ordem de \pi/k_{F}, algumas vezes maior que L_{D}.
Passo 6
Por que as oscilações de Friedel não aparecem na aproximação de Thomas–Fermi? (explicação física e matemática, passo a passo)
Ideia física simples (intuitiva): as oscilações de Friedel são um efeito de interferência quântica entre ondas eletrônicas próximas à superfície de Fermi. Elas vêm de processos de espalhamento que conectam estados com momenta opostos na superfície de Fermi, gerando uma contribuição dominante com momento q=2k_{F}. Isso é um efeito não-local e ligado à estrutura da distribuição de ocupação (corte nítido em k-espaço).
O que a aproximação de Thomas–Fermi faz: Thomas–Fermi assume uma relação local entre variação de potencial e variação de densidade, ou equivalentemente assume que a resposta do gás pode ser tratada no limite de ondas longas (pequenos q). Na prática, TF leva a uma função dielétrica efetiva simples do tipo
\varepsilon_{TF}(q)=1+\frac{k_{TF}^{2}}{q^{2}}.
Essa expressão é válida apenas quando q é pequeno (variações espaciais suaves). Ela é analítica em torno de todos os q relevantes e não tem nenhuma singularidade em q=2k_{F}.
Razão matemática: as oscilações espaciais de grande alcance são obtidas pela transformada de Fourier de V(q)/\varepsilon(q). A presença de uma singularidade ou descontinuidade em \varepsilon(q) em algum q=q_{0} gera contribuições oscilatórias \sim \cos(q_{0}r) em espaço real. O tratamento correto (Lindhard/RPA) mostra que a função de resposta eletrônica tem uma não-analyticidade (um cusp / descontinuidade na derivada) em q=2k_{F}. Essa não-analyticidade é a origem direta do termo \cos(2k_{F}r) nas oscilações de Friedel. Já a forma simples \varepsilon_{TF}(q)=1+k_{TF}^{2}/q^{2} é lisa (analytic) e não possui qualquer característica em q=2k_{F}, logo sua transformada espacial é apenas um decaimento monotônico exponencial do tipo Yukawa
\sim \frac{e^{-k_{TF}r}}{r},
sem oscilações da forma \cos(2k_{F}r).
Conclusão didática: portanto a aproximação de Thomas–Fermi “lisa” elimina a física associada ao corte nítido da distribuição de Fermi (e aos efeitos de interferência de ondas com momento 2k_{F}), por trabalhar no regime de resposta local/longitudinal (pequenos q). Para captar as oscilações de Friedel é necessário usar a função de resposta completa (por exemplo a função de Lindhard no RPA) que inclui a não-analyticidade em q=2k_{F}.
Passo 7
Resumo final e implicações práticas (aposto que você quer decorar isto para a prova):
Período das oscilações de Friedel: \displaystyle P_{F}=\dfrac{\pi}{k_{F}}.
Comprimento de blindagem de Thomas–Fermi: \displaystyle L_{D}=\dfrac{1}{k_{TF}} com \displaystyle k_{TF}^{2}=\dfrac{e^{2}m k_{F}}{\pi^{2}\varepsilon_{0}\hbar^{2}}.
Razão útil: \displaystyle \frac{L_{D}}{P_{F}}=\sqrt{\dfrac{k_{F}a_{0}}{4\pi}}, tipicamente \ll 1 nos metais, ou seja, L_{D} é menor que o período de Friedel.
Por que TF perde as oscilações: TF é uma aproximação local/longa-onda que não captura a não-analyticidade da resposta em q=2k_{F} gerada pela superfície de Fermi; as oscilações de Friedel exigem a resposta não-local (quantum) como a dada pela função de Lindhard (RPA).
Resposta
P_{F}=\dfrac{\pi}{k_{F}}\quad e \quadL_{D}=\dfrac{1}{k_{TF}} com k_{TF}^{2}=\dfrac{e^{2}m k_{F}}{\pi^{2}\varepsilon_{0}\hbar^{2}}. Tipicamente L_{D}\ll P_{F} (por exemplo L_{D}/P_{F}=\sqrt{\dfrac{k_{F}a_{0}}{4\pi}}\sim 0{,}1\text{–}0{,}3 em metais).\nAs oscilações de Friedel não aparecem em Thomas–Fermi porque TF é uma aproximação local/longa‑onda (\varepsilon_{TF}(q)=1+k_{TF}^{2}/q^{2}) que ignora a não‑analyticidade da resposta em q=2k_{F} (origem quântica das oscilações); é preciso a função de resposta completa (Lindhard/RPA) para obter o termo \cos(2k_{F}r).