Compare a solução numérica com a solução analítica de um sistema massa-mola viscosamente amortecido com m=1361 \mathrm{~kg}, k=2,688 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m} e c=3,81 \times 10^{3} \mathrm{Kg} / \mathrm{s}. Considere que as consições iniciais são dadas por x(0)=0 e \dot{x}(0)=0,01 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Plote na mesma figura as soluções numérica e analítica.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: comparar a solução numérica com a solução analítica do sistema massa-mola amortecido e plotar as duas soluções na mesma figura.
  • Dados do sistema: m = 1361\\ \mathrm{kg},\qquad k = 2{,}688\times 10^{5}\\ \mathrm{N/m},\qquad c = 3{,}81\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Condições iniciais: x(0)=0,\qquad \dot{x}(0)=0{,}01\\ \mathrm{m/s}.
  • O objetivo prático aqui será:
    1. Obter a solução analítica x(t) do problema homogêneo amortecido com essas condições iniciais.
    2. Resolver numericamente a mesma equação diferencial e comparar (visual + métrica de erro).
    3. Gerar um gráfico com as duas curvas sobrepostas.

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial e interpretando as variáveis.
  • A equação do movimento para um sistema massa-mola com amortecimento viscoso é
    m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0,
    onde:
    • x(t) é o deslocamento (m),
    • \dot{x}(t) é a velocidade (m/s),
    • \ddot{x}(t) é a aceleração (m/s²),
    • m é a massa (kg),
    • c é o coeficiente de amortecimento (kg/s),
    • k é a rigidez da mola (N/m).
  • Para resolver analiticamente, transformamos para a forma padrão e procuramos as raízes da equação característica (próximo passo).

Passo 3

Derivação da solução analítica (com aula rápida do método).
  1. Equação característica:
    supondo solução do tipo x(t)=e^{\lambda t}, substituindo na ODE obtemos
    m\lambda^{2}+c\lambda+k=0.
    Essa é uma equação quadrática em \lambda.
  2. Definições úteis (explicando o que significam):
    • frequência natural (sem amortecimento) \omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}.Interpretação: quantas rad/s o sistema oscilaria se c=0.
    • razão de amortecimento (damping ratio) \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}=\frac{c}{2m\omega_{n}}.Interpretação: \zeta<1 aponta para regime subamortecido (oscilações amortecidas), \zeta=1 crítico, \zeta>1 sobreamortecido (sem oscilações).
    • frequência amortecida (quando \zeta<1) \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.Interpretação: frequência angular real das oscilações amortecidas.
  3. Caso aqui: se \zeta<1 (subamortecido), a solução geral é
    x(t)=e^{-\zeta\omega_{n} t}\bigl(A\cos(\omega_{d} t)+B\sin(\omega_{d} t)\bigr).
    Aplicando as condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0} obtemos:
    A=x_{0},\qquad B=\frac{v_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}{\omega_{d}}.
    No nosso caso x_{0}=0 e v_{0}=0{,}01\\ \mathrm{m/s}, então:
    A=0,\qquad B=\frac{v_{0}}{\omega_{d}}.
    Logo a solução analítica é
    \boxed{\,x(t)=\frac{v_{0}}{\omega_{d}}\,e^{-\zeta\omega_{n} t}\sin(\omega_{d} t)\,}
    (essa fórmula é muito prática: quando deslocamento inicial é zero e só há velocidade inicial, a resposta é um seno amortecido com amplitude v_{0}/\omega_{d}.)

Passo 4

Calcular os parâmetros numéricos (faça as contas passo a passo).
  1. Calcule \omega_{n}:
    \omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{2{,}688\times 10^{5}}{1361}}\approx 14{,}06\\ \mathrm{rad/s}.
  2. Calcule \zeta:
    \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}=\frac{3{,}81\times 10^{3}}{2\cdot 1361\cdot 14{,}06}\approx 0{,}0996.
    Observação: \zeta\approx 0{,}10<1, então o sistema é subamortecido (esperamos oscilações amortecidas).
  3. Calcule \omega_{d}:
    \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}\approx 14{,}06\sqrt{1-(0{,}0996)^{2}}\approx 13{,}99\\ \mathrm{rad/s}.
  4. Coeficiente da amplitude (usando v_{0}=0{,}01\\ \mathrm{m/s}):
    \frac{v_{0}}{\omega_{d}}\approx \frac{0{,}01}{13{,}99}\approx 7{,}15\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  5. Portanto, a solução analítica numérica é
    x(t)\approx 7{,}15\times 10^{-4}\;e^{-0{,}0996\cdot 14{,}06\, t}\sin(13{,}99\, t).
    (Note que na exponencial podemos combinar \zeta\omega_{n}\approx 0{,}0996\times 14{,}06\approx 1{,}40, então e^{-\zeta\omega_{n}t}\approx e^{-1{,}40 t}.)

Passo 5

Preparar a solução numérica: redução para sistema de 1ª ordem e método.
  1. Transformação para sistema de primeira ordem:
    defina y_{1}=x\) e \(y_{2}=\dot{x}\). Então \[\begin{cases} \dot{y}_{1}=y_{2},\\[4pt] \dot{y}_{2}=-\dfrac{c}{m}y_{2}-\dfrac{k}{m}y_{1}, \end{cases}
    com y_{1}(0)=0\] e \(y_{2}(0)=0{,}01.
  2. Método numérico: use um solver de passo adaptativo de Runge–Kutta (por exemplo, RK45 via scipy.integrate.solve_ivp em Python) ou um RK4 fixo se preferir implementar manualmente. O método padrão ‘RK45’ é suficiente e eficiente aqui.]

Passo 6

Código exemplo (Python) para integrar numericamente, calcular a solução analítica e plotar ambas. Execute isso no seu computador (requere numpy, scipy, matplotlib).
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros
m = 1361.0
k = 2.688e5
c = 3.81e3
v0 = 0.01  # velocidade inicial (m/s)
x0 = 0.0

# Parâmetros derivados
omega_n = np.sqrt(k / m)
zeta = c / (2.0 * np.sqrt(k * m))
omega_d = omega_n * np.sqrt(1.0 - zeta**2)

# Sistema de 1ª ordem
def rhs(t, y):
    # y[0] = x, y[1] = xdot
    return [y[1], -(c/m)*y[1] - (k/m)*y[0]]

# Condições iniciais
y0 = [x0, v0]

# Intervalo de tempo para plot (por exemplo 0 a 5 s)
t_span = (0.0, 5.0)
t_eval = np.linspace(t_span[0], t_span[1], 2000)

# Solução numérica
sol = solve_ivp(rhs, t_span, y0, t_eval=t_eval, method='RK45', atol=1e-9, rtol=1e-9)

# Solução analítica nos mesmos tempos
x_analytical = (v0 / omega_d) * np.exp(-zeta * omega_n * t_eval) * np.sin(omega_d * t_eval)

# Plot
plt.figure(figsize=(8,4.5))
plt.plot(sol.t, sol.y[0], label='Numérica (solve\\_ivp)', linewidth=1)
plt.plot(t_eval, x_analytical, '--', label='Analítica', linewidth=1)
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('x (m)')
plt.title('Comparação: solução numérica vs analítica (massa-mola amortecido)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

# Erro (diferença ponto a ponto)
err = sol.y[0] - x_analytical
print('Erro máximo absoluto entre numérica e analítica:', np.max(np.abs(err)))
print('Erro RMS:', np.sqrt(np.mean(err**2)))
  • Comentários: ajustei atol e rtol para tolerâncias pequenas (Precisão boa). t_eval garante que a solução numérica será avaliada nos mesmos instantes usados para a solução analítica, facilitando comparação.

Passo 7

O que observar ao comparar as soluções e como interpretar os resultados.
  • Ao executar o código você deverá ver as duas curvas praticamente coincidentes (a linha pontilhada — analítica — sobreposta à curva numérica).
  • O print no final do código informa o erro máximo absoluto e o erro RMS entre as soluções; valores muito pequenos (por ex. da ordem de 1e-10 a 1e-6 dependendo das tolerâncias) significam boa concordância.
  • Se houver discrepância visível:
    • aumente atol/rtol (torne-os menores) para maior precisão,
    • certifique-se de que o t_eval é suficientemente denso para resolver as oscilações (período aproximado T_d=2\pi/\omega_{d}\approx 0{,}45\\ \mathrm{s}).

Passo 8

Dicas práticas rápidas (motivação e truques de prova):
  • Na prova, memorize a forma geral da solução subamortecida: x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),e o caso especial quando x_0=0\Rightarrow x(t)=(v_0/\omega_d)e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t).
  • Para cálculos rápidos sem calculadora, é suficiente estimar \omega_n e \zeta com 2–3 dígitos significativos e reconhecer regime (sub/crit/ sobreamortecido).
  • Respire fundo! a estrutura do problema segue sempre os mesmos passos: equação característica → identificar regime → aplicar condições iniciais → obter constantes.

Resposta

x(t)=\frac{0{,}01}{\;13{,}99\;}\,e^{-0{,}0996\cdot 14{,}06\, t}\sin(13{,}99\, t)\approx 7{,}15\times 10^{-4}\,e^{-1{,}40\,t}\sin(13{,}99\,t).

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