Se, em uma semi-reta considerarmos um segmento A C<A B. Mostre que o ponto C está entre A e B.

Passo 1

O enunciado diz que em uma semi-reta com origem em A temos dois pontos B e C tais que
AC<AB
O conteúdo aqui é geometria básica de reta: pontos colineares em uma semirreta e relação de ordem por meio de comprimentos de segmentos. Para mostrar que C fica “entre” A e B, vamos usar a única outra possibilidade de ordenação e obter uma contradição com a desigualdade dada.

Passo 2

Em uma semi-reta com origem em A, todos os pontos estão colineares e do mesmo lado de A. Logo, dentre os três pontos A,C,B só podem ocorrer duas ordenações (em termos de posição ao longo da reta):
  1. C está entre A e B, ou
  2. B está entre A e C.

Passo 3

Suponha, para fins de contradição, que seja a ordem A B C, isto é, B está entre A e C.
Por definição de “ponto entre” vale a adição de segmentos:
AC=AB+BC
Como BC é um comprimento positivo, segue-se que
AC>AB,
o que contradiz a hipótese AC<AB.

Passo 4

A hipótese de B estar entre A e C gera contradição, portanto a única ordenação possível é A C B. Em outras palavras, C está entre A e B.

Resposta

C está entre A e B.

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