Compare the curves represented by the parametric equations. How do they differ?
x=t, y=t^-2

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
x=t, y=t^-2,
e pede para comparar o “gráfico” dessa curva com o gráfico da equação em x e y. Ou seja, queremos entender a forma da curva (o lugar–geométrico) e também como ela é percorrida conforme t varia.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro t. Como x=t, temos
y = t^-2 = x^-2
Logo o lugar–geométrico é exatamente a curva de equação
y = 1x^2,
com a restrição xneq0.

Passo 3

Analisando a forma da curva y=1/x^2:
  • Para xto0, yto+infty (assimptota vertical em x=0).
  • Para |x|toinfty, yto0^+ (assimptota horizontal em y=0).
    Isso gera duas “ramificações” desconectadas, uma para x<0 e outra para x>0, sempre com y>0.

Passo 4

Agora olhamos a parametrização e sua direção de percurso:
  • Se t<0, então x=t vai de -infty até 0^- quando t sobe de -infty para 0. Simultaneamente y=t^-2 cresce de 0^+ para +infty.
  • Se t>0, então x=t vai de 0^+ até +infty quando t vai de 0 a +infty, e y=t^-2 decresce de +infty para 0^+.
Portanto cada ramo é percorrido num sentido bem definido conforme t aumenta.

Passo 5

Conclusão da comparação:
– Como conjunto de pontos, a curva paramétrica coincide com o gráfico de
y = 1x^2, xneq0
– O que muda é a parametrização: ela determina dois ramos e dá uma direção de percurso em cada ramo (e uma “velocidade” variável).

Resposta

O lugar–geométrico é idêntico ao de y=1/x^2 (duas ramificações com xneq0), mas a parametrização introduz uma orientação e velocidade de percurso específicas em cada ramo.

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