Compare the curves represented by the parametric equations. How do they differ?
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede para comparar o “gráfico” dessa curva com o gráfico da equação em
e
. Ou seja, queremos entender a forma da curva (o lugar–geométrico) e também como ela é percorrida conforme
varia.
Passo 2
Eliminamos o parâmetro
. Como
, temos
Logo o lugar–geométrico é exatamente a curva de equação
com a restrição
.
Passo 3
Analisando a forma da curva
:
- Para
, (assimptota vertical em ). - Para
, (assimptota horizontal em ).
Isso gera duas “ramificações” desconectadas, uma parae outra para , sempre com .
Passo 4
Agora olhamos a parametrização e sua direção de percurso:
- Se
, então vai de até quando sobe de para . Simultaneamente cresce de para . - Se
, então vai de até quando vai de a , e decresce de para .
Portanto cada ramo é percorrido num sentido bem definido conforme
aumenta.
Passo 5
Conclusão da comparação:
– Como conjunto de pontos, a curva paramétrica coincide com o gráfico de
– Como conjunto de pontos, a curva paramétrica coincide com o gráfico de
– O que muda é a parametrização: ela determina dois ramos e dá uma direção de percurso em cada ramo (e uma “velocidade” variável).
Resposta
O lugar–geométrico é idêntico ao de
(duas ramificações com
), mas a parametrização introduz uma orientação e velocidade de percurso específicas em cada ramo.