Compare o valor liquido recebido no desconto de um titulo de RS 15.000,00 a 3 \% ao mês por 4 meses pelo método do desconto comercial e pelo desconto racional simples.

Passo 1

O enunciado dá um título com valor nominal N=R\$\,15.000,00, taxa de desconto i=3\%=0,03 ao mês e prazo n=4 meses.
Pede para comparar o valor líquido recebido (ou seja, o valor presente que o portador recebe ao descontar o título) quando o desconto é feito por:
  • desconto comercial (desconto “por fora”);
  • desconto racional simples (desconto “por dentro”).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • N=R\$\,15.000,00 (valor nominal do título);
  • i=0,03 (taxa por mês);
  • n=4 (número de meses).

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que usaremos e o significado de cada variável, devagar e com calma.
  • Variáveis:
    • N = valor nominal (valor que será pago no vencimento);
    • i = taxa de desconto por período (aqui por mês);
    • n = número de períodos até o vencimento;
    • D = valor do desconto (quanto é subtraído do N);
    • A = valor líquido recebido (também chamado de valor presente ou desconto em conta).
  • Desconto comercial simples (desconto “por fora”):
    • Neste método o desconto é calculado diretamente sobre o valor nominal N proporcional ao tempo: D_{\text{com}} = N \cdot i \cdot n.
    • O valor líquido recebido é A_{\text{com}} = N - D_{\text{com}} = N \bigl(1 - i n\bigr).
    • Intuição: tira-se do título uma parcela proporcional ao tempo sobre o valor total do título.
  • Desconto racional simples (desconto “por dentro”):
    • Parte-se da ideia de juros simples: o valor nominal N é o montante obtido a partir de um capital A aplicado por n períodos a juros simples: N = A\bigl(1 + i n\bigr).
    • Isolando A (que é o que se recebe hoje): A_{\text{rat}} = \dfrac{N}{1 + i n}.
    • O desconto efetivo é D_{\text{rat}} = N - A_{\text{rat}}.
    • Intuição: aqui o desconto é tal que, se aplicasse o valor recebido hoje a juros simples, chegaria exatamente ao nominal N no vencimento.

Passo 3

Aplicando ao caso numérico — primeiro o desconto comercial.
  • Calcular i n:
    i n = 0,03 \times 4 = 0,12.
  • Desconto comercial:
    D_{\text{com}} = N \cdot i \cdot n = 15.000 \times 0,12 = 1.800.
    (Cálculo mental: 10\% de 15.000 é 1.500, 2\% é 300; soma 1.800.)
  • Valor líquido recebido pelo método comercial:
    A_{\text{com}} = N - D_{\text{com}} = 15.000 - 1.800 = 13.200.

Passo 4

Agora o desconto racional simples.
  • Usar a fórmula:
    A_{\text{rat}} = \frac{N}{1 + i n}.
  • Já calculamos 1 + i n = 1 + 0,12 = 1,12. Observe que 1,12=\dfrac{28}{25}, logo \dfrac{1}{1,12}=\dfrac{25}{28}. Assim:
    A_{\text{rat}} = 15.000 \times \frac{25}{28} = \frac{375.000}{28} = \frac{93.750}{7}.
    Convertendo para decimal:
    A_{\text{rat}} \approx 13.392{,}857142857\ldots
    Arredondando para centavos (modo usual em dinheiro):
    A_{\text{rat}} \approx R\$\,13.392{,}86.
  • O desconto racional é:
    D_{\text{rat}} = N - A_{\text{rat}} \approx 15.000 - 13.392{,}857142857\ldots \approx 1.607{,}14.

Passo 5

Comparação e interpretação (pra você entender o porquê da diferença):
  • Valores líquidos obtidos:
    • Pelo desconto comercial: A_{\text{com}} = R\$\,13.200{,}00.
    • Pelo desconto racional: A_{\text{rat}} \approx R\$\,13.392{,}86.
  • Diferença:
    A_{\text{rat}} - A_{\text{com}} \approx 13.392{,}857\ldots - 13.200 = 192{,}857\ldots \approx R\$\,192{,}86.
    Ou seja, pelo método racional o sacador recebe cerca de R\$\,192{,}86 a mais do que pelo método comercial.
  • Intuição rápida: no desconto comercial tira-se o desconto sobre o valor total N, mesmo que parte desse desconto “incida” sobre juros que nunca existiriam se o título fosse descontado (por isso é mais prejudicial para quem entrega o título). No racional, desconta-se de modo que o valor presente aplicado a juros simples atingiria N no vencimento — é mais justo para o portador do título.

Passo 6

Resumo de receita de prova (para você decorar e aplicar rápido):
  • Para desconto comercial: calcule i n, então A_{\text{com}} = N(1 - i n).
  • Para desconto racional: calcule A_{\text{rat}} = \dfrac{N}{1 + i n}.
  • Sempre cheque unidades (taxa e período coerentes) e arredonde só no final para centavos.

Resposta

Desconto comercial: R\$\,13.200,00
Desconto racional simples: R\$\,13.392,86

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