Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de \mathrm{R} \ 50.000,00 a ser pago em 36 parcelas mensais com taxa de2 %$ ao mês?

Passo 1

O enunciado dá um financiamento e pede o valor da prestação mensal. Informações fornecidas:
  • Valor financiado (presente) P = R\$\,50.000,00.
  • Número de parcelas n = 36 (mensais).
  • Taxa de juros mensal i = 2\% ao mês, isto é i = 0,02.
    O que se pede: calcular a prestação fixa mensal A que, paga por 36 meses à taxa de 2\% ao mês, equivale ao empréstimo de R\$\,50.000,00.

Passo 2

Entender o modelo matemático (raciocínio didático).
Quando se tem prestações fixas A pagas ao final de cada período e uma taxa de juros i por período, o valor presente P dessas prestações é a soma dos valores presentes de cada prestação. Para n parcelas a fórmula do valor presente de uma anuidade (prestações constantes) é:
P = A\left(\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\right).
Explicando cada termo:
  • P é o valor presente (quanto foi emprestado).
  • A é o valor da prestação periódica (o que queremos).
  • i é a taxa por período (em forma decimal).
  • n é o número de períodos.
    A expressão entre parênteses é o fator que transforma uma renda periódica A em seu valor presente; ela vem da soma de uma série geométrica (cada parcela é descontada pelo fator (1+i)^{-k}). Vou mostrar rapidamente a origem: a soma é
P = A\bigl((1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + \cdots + (1+i)^{-n}\bigr),
que é uma série geométrica com razão r=(1+i)^{-1}; aplicando a fórmula da soma da série geométrica obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Isolar A para obter a fórmula da prestação.
A partir de
P = A\left(\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\right),
isola-se A:
A = P\cdot\frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}.
Outra forma equivalente, às vezes mais prática numericamente, é
A = P\cdot\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1},
porque multiplicando numerador e denominador por (1+i)^{n} obtemos essa expressão.

Passo 4

Substituir os valores do problema na fórmula. Temos P = 50.000, i = 0,02 e n = 36. Usarei a forma
A = P\cdot\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.
Substituindo:
A = 50.000\cdot\frac{0,02\,(1{,}02)^{36}}{(1{,}02)^{36}-1}.

Passo 5

Calcular (1{,}02)^{36} (explicando o cálculo aproximado).
Para calcular (1{,}02)^{36} sem pular etapas, pode-se usar a exponenciação com logaritmos ou séries; aqui faço um cálculo aproximado controlado usando expansão exponencial:
(1{,}02)^{36} \approx e^{36\ln(1{,}02)}.
Uma aproximação para \ln(1{,}02) é \ln(1{,}02)\approx 0{,}0198026273. Multiplicando por 36 dá aproximadamente 0{,}7128945827. Portanto
(1{,}02)^{36} \approx e^{0{,}7128945827}\approx 2{,}03988736.
(Esse valor foi obtido expandindo e^{0{,}7129} em termos de e^{0{,}6931}\cdot e^{0{,}0198} e usando termos até segunda/terceira ordem para garantir precisão de centavos na prestação.)

Passo 6

Continuar a substituição com esse número e calcular A.
Usando (1{,}02)^{36}\approx 2{,}03988736, temos:
A \approx 50.000\cdot\frac{0{,}02\cdot 2{,}03988736}{2{,}03988736-1}.
Calcule o numerador:
0{,}02\cdot 2{,}03988736 = 0{,}0407977472,
logo
50.000\cdot 0{,}0407977472 = 2.039,88736.
O denominador é
2{,}03988736 - 1 = 1{,}03988736.
Portanto
A \approx \frac{2.039,88736}{1{,}03988736}.

Passo 7

Fazer a divisão final (cálculo numérico detalhado).
Efetuando a divisão com os valores dados:
A \approx 1.961{,}64262\ldots
Arredondando para centavos (como normalmente se faz em prestações):
A \approx R\$\,1.961{,}64.
Observação encorajadora: dá trabalho controlar potências e arredondamentos, mas na prova basta usar a fórmula e uma calculadora comum para obter o mesmo resultado; aqui mostrei como chegar com passos claros para entender cada etapa.

Resposta

R\$\,1.961{,}64

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