Um título foi descontado 6 meses antes do vencimento à taxa de 5 \% ao mês, resultando em um desconto de R \ 3.000,00$. Determine o valor nominal do título.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Foi informado que o desconto obtido foi de \text{R\$}3.000,00. Ou seja, D=\text{R\$ }3.000,00.
  • O desconto foi feito 6 meses antes do vencimento. Ou seja, n=6 (meses).
  • A taxa informada é de 5\% ao mês. Em forma decimal, i=0,05 (por mês).
  • O que o enunciado pede: determinar o valor nominal do título (valor a vencer), que vou chamar de N.

Passo 2

Explicação didática das fórmulas de desconto (para entender qual usar).
Existem duas fórmulas comuns para desconto simples (tipo que aparece em provas básicas):
  1. Desconto comercial (ou “bancário”) simples: o desconto é calculado diretamente sobre o valor nominal. A fórmula é
D = N \cdot i \cdot n,
onde
  • D é o desconto (em unidades monetárias),
  • N é o valor nominal do título (o que se quer achar),
  • i é a taxa por período (em forma decimal),
  • n é o número de períodos até o vencimento.
  1. Desconto racional (ou desconto por adiantamento racional simples): primeiro calcula-se o valor presente do título e o desconto é a diferença entre o nominal e o presente. A fórmula para o desconto é
D = N - \frac{N}{1 + i n} = N\cdot\frac{i n}{1+i n}.
Ambas aparecem em provas, mas a fórmula 1 é a mais simples e a mais comum se o enunciado não especifica o tipo de desconto.

Passo 3

Decisão do método: vou usar o desconto comercial simples ( D=N i n).
Motivo: o enunciado não especificou “desconto racional” nem usou termos que indiquem esse caso mais “técnico”. Em exercícios introdutórios, quando não se especifica, costuma-se usar o desconto comercial simples porque é a fórmula mais básica e direta. Se o professor quisesse desconto racional ele normalmente diria explicitamente. Portanto aplicarei a fórmula D=N i n. (Se quiser, posso depois mostrar rapidamente o resultado no caso racional para comparação.)

Passo 4

Aplicando a fórmula do desconto comercial simples e resolvendo para N.
A fórmula é
D = N \cdot i \cdot n.
Isolando N,
N = \frac{D}{i\cdot n}.
Substituindo os valores dados (uso \text{R\$ }3.000,00 para D, i=0,05 e n=6):
N = \frac{\text{R\$ }3.000,00}{0,05\cdot 6}.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo:
Calcula-se primeiro o produto da taxa pelo número de meses:
0,05\cdot 6 = 0,30.
Então
N = \frac{\text{R\$ }3.000,00}{0,30}.
Dividindo:
N = \text{R\$ }10.000,00.
Também é útil ver o valor presente (quanto foi efetivamente recebido no desconto): A = N - D = \text{R\$}10.000,00 - \text{R\$ }3.000,00 = \text{R\$ }7.000,00. (Isso só para ter intuição; a pergunta pedia o N.)

Passo 6

Observação final (comparação rápida com desconto racional): se o problema tivesse aplicado desconto racional, a relação seria D=N\cdot\dfrac{i n}{1+i n}. Nesse caso, resolvendo para N com D=\text{R\$}3.000,00, obter-se-ia N=\text{R\$ }13.000,00. Ou seja, os dois métodos dão valores diferentes; por isso é importante saber qual desconto foi usado. Aqui, por motivo explicado no Passo 3, adotamos o desconto comercial simples.

Resposta

\text{R\$ }10.000,00

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