Um título foi descontado 6 meses antes do vencimento à taxa de
ao mês, resultando em um desconto de R
3.000,00$. Determine o valor nominal do título.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Foi informado que o desconto obtido foi de
. Ou seja, . - O desconto foi feito
meses antes do vencimento. Ou seja, (meses). - A taxa informada é de
ao mês. Em forma decimal, (por mês). - O que o enunciado pede: determinar o valor nominal do título (valor a vencer), que vou chamar de
.
Passo 2
Explicação didática das fórmulas de desconto (para entender qual usar).
Existem duas fórmulas comuns para desconto simples (tipo que aparece em provas básicas):
- Desconto comercial (ou “bancário”) simples: o desconto é calculado diretamente sobre o valor nominal. A fórmula é
onde
-
é o desconto (em unidades monetárias), -
é o valor nominal do título (o que se quer achar), -
é a taxa por período (em forma decimal), -
é o número de períodos até o vencimento.
- Desconto racional (ou desconto por adiantamento racional simples): primeiro calcula-se o valor presente do título e o desconto é a diferença entre o nominal e o presente. A fórmula para o desconto é
Ambas aparecem em provas, mas a fórmula 1 é a mais simples e a mais comum se o enunciado não especifica o tipo de desconto.
Passo 3
Decisão do método: vou usar o desconto comercial simples (
).
Motivo: o enunciado não especificou “desconto racional” nem usou termos que indiquem esse caso mais “técnico”. Em exercícios introdutórios, quando não se especifica, costuma-se usar o desconto comercial simples porque é a fórmula mais básica e direta. Se o professor quisesse desconto racional ele normalmente diria explicitamente. Portanto aplicarei a fórmula
. (Se quiser, posso depois mostrar rapidamente o resultado no caso racional para comparação.)
Passo 4
Aplicando a fórmula do desconto comercial simples e resolvendo para
.
A fórmula é
Isolando
,
Substituindo os valores dados (uso
para
,
e
):
Passo 5
Fazendo as contas passo a passo:
Calcula-se primeiro o produto da taxa pelo número de meses:
Então
Dividindo:
Também é útil ver o valor presente (quanto foi efetivamente recebido no desconto):
. (Isso só para ter intuição; a pergunta pedia o
.)
Passo 6
Observação final (comparação rápida com desconto racional): se o problema tivesse aplicado desconto racional, a relação seria
. Nesse caso, resolvendo para
com
, obter-se-ia
. Ou seja, os dois métodos dão valores diferentes; por isso é importante saber qual desconto foi usado. Aqui, por motivo explicado no Passo 3, adotamos o desconto comercial simples.