Determine a derivada da função vetorial.
14.
\mathbf{r}(t)=a t \cos 3 t \mathbf{i}+b \operatorname{sen}^{3} t \mathbf{j}+c \cos ^{3} t \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial \mathbf{r}(t)=a\,t\cos(3t)\,\mathbf{i}+b\,\sin^3(t)\,\mathbf{j}+c\,\cos^3(t)\,\mathbf{k}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivada de função vetorial, usando regra do produto na componente \mathbf{i} e regra da cadeia nas componentes \mathbf{j} e \mathbf{k}.

Passo 2

Derivando a componente em \mathbf{i}: \displaystyle x(t)=a\,t\cos(3t).
Pela regra do produto,
x'(t)=a\bigl[1\cdot\cos(3t)+t\cdot(-\sin(3t)\cdot3)\bigr] =a\bigl(\cos(3t)-3t\sin(3t)\bigr).

Passo 3

Derivando a componente em \mathbf{j}: \displaystyle y(t)=b\,\sin^3(t).
Pela regra da cadeia,
y'(t)=b\cdot3\,\sin^2(t)\cdot\cos(t) =3b\,\sin^2(t)\cos(t).

Passo 4

Derivando a componente em \mathbf{k}: \displaystyle z(t)=c\,\cos^3(t).
Pela regra da cadeia,
z'(t)=c\cdot3\,\cos^2(t)\cdot\bigl(-\sin(t)\bigr) =-3c\,\cos^2(t)\sin(t).

Resposta

\mathbf{r}'(t) =\;a\bigl(\cos(3t)-3t\sin(3t)\bigr)\,\mathbf{i} \;+\;3b\,\sin^2(t)\cos(t)\,\mathbf{j} \;-\;3c\,\cos^2(t)\sin(t)\,\mathbf{k}.

Exercícios relacionados