Exercício 4) Determinar a altura da lâmina d’água normal e a velocidade de escoamento em um canal trapezoidal feito em solo barro- arenoso com base
, talude
horizontal
vertical
e
, para transportar uma vazão de
. Se a velocidade calculada apresentar-se elevada, calcular a nova declividade e a nova altura da lâmina d’água para que a mesma vazão seja conduzida com uma velocidade de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais: primeiro, determinar a altura da lâmina d’água e a velocidade média de escoamento num canal trapezoidal dado para transportar
; segundo, se essa velocidade for considerada elevada, calcular uma nova declividade e a nova altura da lâmina de modo que a mesma vazão seja conduzida com velocidade média
.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente, com as unidades e como vou usar):
Passo 2
Apresento a fórmula que usaremos (fórmula de Manning para escoamento uniforme em canal aberto):
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de Manning (adimensional); -
é a área molhada da seção transversal ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por , com perímetro molhado ( ); -
é a declividade (adimensional), aqui .
Para facilitar os cálculos numéricos, calculo o fator constante
que aparece multiplicando
. Com
e
temos
Portanto, com os dados iniciais podemos escrever
Passo 3
Agora expresso
,
e
em função da profundidade
(altura da lâmina d’água):
Geometria do trapézio (com talude
):
- largura da base
. - largura no topo da água:
.
Área molhada:
Perímetro molhado:
Como
,
. Logo
Raio hidráulico:
Substituindo em Manning obtemos a equação não linear em
:
A próxima etapa é resolver essa equação numérica para
.
Passo 4
Vou resolver
por tentativa numérica (método de tentativas e interpolação, que é prático na prova sem calculadora sofisticada). Faço alguns ensaios e calculo
:
- Tentativa com
:
Muito abaixo de
.
- Tentativa com
:
Agora é maior que
. Logo solução está entre
e
.
- Tentativa com
:
Um pouco abaixo de
.
- Tentativa com
:
Agora Q ficou um pouco acima de
. Portanto
está entre
e
.
Faço interpolação linear entre os dois pontos mais próximos para obter
com boa precisão:
Interpolando para
:
Arredondando com razoável precisão prática:
.
Passo 5
Calculo agora a velocidade média correspondente com
. Primeiro a área exata:
Faço as contas:
Logo
Velocidade média:
Esse valor é claramente maior que
, então faz sentido atender à parte 2 do enunciado (reduzir a velocidade para
).
Passo 6
Para obter
mantendo
, a área necessária é
Essa área deve ser obtida pela mesma fórmula
. Então resolvo a quadrática
Uso a fórmula de Bhaskara:
Calculo do discriminante:
Tomando a raiz positiva:
Arredondando:
.
Passo 7
Agora determino a nova declividade
necessária para que, com essa profundidade
, a vazão
seja obtida pela fórmula de Manning. Reescrevo Manning isolando
:
Com
temos:
Cálculo de
:
Agora substituo em
:
Expressando em unidades usuais
(multiplica-se por
):
Passo 8
Resumo numérico e checagem rápida:
- Profundidade inicial encontrada:
. - Velocidade correspondente:
(maior que ).
Portanto calculamos a condição para: - nova profundidade
; - nova declividade
(adimensional) .