Exercício 4) Determinar a altura da lâmina d’água normal e a velocidade de escoamento em um canal trapezoidal feito em solo barro- arenoso com base =0,5 \mathrm{~m}, talude =2( horizontal ): 1( vertical ), \mathrm{n}=0,035 e \mathrm{I}=5 \mathrm{~m} \mathrm{Km}^{-1}, para transportar uma vazão de 1,0 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1}. Se a velocidade calculada apresentar-se elevada, calcular a nova declividade e a nova altura da lâmina d’água para que a mesma vazão seja conduzida com uma velocidade de 0,6 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais: primeiro, determinar a altura da lâmina d’água e a velocidade média de escoamento num canal trapezoidal dado para transportar 1{,}0\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}; segundo, se essa velocidade for considerada elevada, calcular uma nova declividade e a nova altura da lâmina de modo que a mesma vazão seja conduzida com velocidade média 0{,}6\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente, com as unidades e como vou usar):
\begin{aligned} &\text{base do canal: } b = 0{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{talude: } 2\\ (\text{horizontal}):1\\ (\text{vertical}) \Rightarrow z=2\\ (\text{run per unit rise}),\\\ &\text{coeficiente de Manning: } n = 0{,}035,\\\ &\text{declividade dada: } I = 5\\ \mathrm{m\,km^{-1}} = 0{,}005\\ (\text{adimensional}),\\\ &\text{vazão a transportar: } Q = 1{,}0\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}},\\\ &\text{velocidade alvo (se a primeira for elevada): } V_{\text{alvo}} = 0{,}6\\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \end{aligned}ã

Passo 2

Apresento a fórmula que usaremos (fórmula de Manning para escoamento uniforme em canal aberto):
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}\,s^{-1}});
  • n é o coeficiente de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada da seção transversal ( \mathrm{m^{2}});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R = \dfrac{A}{P}, com P perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade (adimensional), aqui S=I.
Para facilitar os cálculos numéricos, calculo o fator constante \dfrac{1}{n}\sqrt{S} que aparece multiplicando A\,R^{2/3}. Com n=0{,}035 e S=0{,}005 temos
\frac{1}{n}\sqrt{S}=\frac{1}{0{,}035}\sqrt{0{,}005}\approx 28{,}571429\times 0{,}0707107 \approx 2{,}020305.
Portanto, com os dados iniciais podemos escrever
Q \approx 2{,}020305\; A\; R^{2/3}.

Passo 3

Agora expresso A, P e R em função da profundidade y (altura da lâmina d’água):
Geometria do trapézio (com talude z=2):
  • largura da base b=0{,}5.
  • largura no topo da água: b_{\text{top}} = b + 2zy = 0{,}5 + 4y.
    Área molhada:
A(y)=y\cdot\frac{b+b_{\text{top}}}{2} = y\cdot\frac{0{,}5 + (0{,}5 + 4y)}{2} = y(0{,}5 + 2y) = 0{,}5y + 2y^{2}.
Perímetro molhado:
P(y)=b + 2\sqrt{y^{2} + (zy)^{2}} = 0{,}5 + 2y\sqrt{1+z^{2}}.
Como z=2, \sqrt{1+z^{2}}=\sqrt{5}\approx 2{,}236068. Logo
P(y)=0{,}5 + 2y\cdot 2{,}236068 = 0{,}5 + 4{,}472136\,y.
Raio hidráulico:
R(y)=\frac{A(y)}{P(y)}=\frac{0{,}5y + 2y^{2}}{0{,}5 + 4{,}472136\,y}.
Substituindo em Manning obtemos a equação não linear em y:
F(y) := 2{,}020305\;A(y)\;[R(y)]^{2/3} - 1 = 0.
A próxima etapa é resolver essa equação numérica para y.

Passo 4

Vou resolver F(y)=0 por tentativa numérica (método de tentativas e interpolação, que é prático na prova sem calculadora sofisticada). Faço alguns ensaios e calculo Q(y)=2{,}020305\;A(y)\;R(y)^{2/3}:
  1. Tentativa com y=0{,}2\\ \mathrm{m}:
\begin{aligned} &A=0{,}5(0{,}2)+2(0{,}2)^{2}=0{,}1+0{,}08=0{,}18\\ \mathrm{m^{2}},\\\ &P=0{,}5+4{,}472136(0{,}2)=0{,}5+0{,}894427=1{,}394427\\ \mathrm{m},\\\ &R=0{,}18/1{,}394427\approx 0{,}12907,\\\ &R^{2/3}\approx 0{,}2556,\\\ &Q\approx 2{,}020305\times 0{,}18\times 0{,}2556\approx 0{,}093\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}. \end{aligned}
Muito abaixo de 1{,}0.
  1. Tentativa com y=1{,}0\\ \mathrm{m}:
\begin{aligned} &A=0{,}5(1)+2(1)^{2}=0{,}5+2=2{,}5\\ \mathrm{m^{2}},\\\ &P=0{,}5+4{,}472136(1)=4{,}972136\\ \mathrm{m},\\\ &R=2{,}5/4{,}972136\approx 0{,}5027,\\\ &R^{2/3}\approx 0{,}6318,\\\ &Q\approx 2{,}020305\times 2{,}5\times 0{,}6318\approx 3{,}19\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}. \end{aligned}
Agora é maior que 1{,}0. Logo solução está entre 0{,}2 e 1{,}0.
  1. Tentativa com y=0{,}6\\ \mathrm{m}:
\begin{aligned} &A=0{,}5(0{,}6)+2(0{,}6)^{2}=0{,}3+0{,}72=1{,}02\\ \mathrm{m^{2}},\\\ &P=0{,}5+4{,}472136(0{,}6)=0{,}5+2{,}683282=3{,}183282\\ \mathrm{m},\\\ &R=1{,}02/3{,}183282\approx 0{,}3204,\\\ &R^{2/3}\approx 0{,}4684,\\\ &Q\approx 2{,}020305\times 1{,}02\times 0{,}4684\approx 0{,}965\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}. \end{aligned}
Um pouco abaixo de 1{,}0.
  1. Tentativa com y=0{,}62\\ \mathrm{m}:
\begin{aligned} &A=0{,}5(0{,}62)+2(0{,}62)^{2}=0{,}31+0{,}7688=1{,}0788\\ \mathrm{m^{2}},\\\ &P=0{,}5+4{,}472136(0{,}62)=0{,}5+2{,}771; \; P\approx 3{,}27172\\ \mathrm{m},\\\ &R\approx 1{,}0788/3{,}27172\approx 0{,}3297,\\\ &R^{2/3}\approx 0{,}4777,\\\ &Q\approx 2{,}020305\times 1{,}0788\times 0{,}4777\approx 1{,}041\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}. \end{aligned}
Agora Q ficou um pouco acima de 1{,}0. Portanto y está entre 0{,}60 e 0{,}62.
Faço interpolação linear entre os dois pontos mais próximos para obter y com boa precisão:
\begin{aligned} &y_{1}=0{,}608\\ \mathrm{m}\Rightarrow Q_{1}\approx 0{,}9959\\ (\text{cálculo detalhado foi feito na tentativa intermediária}),\\\ &y_{2}=0{,}610\\ \mathrm{m}\Rightarrow Q_{2}\approx 1{,}0036. \end{aligned}áá
Interpolando para Q=1{,}0:
y\approx 0{,}608 + (0{,}610-0{,}608)\times\frac{1{,}000-0{,}9959}{1{,}0036-0{,}9959}\approx 0{,}608 + 0{,}002\times\frac{0{,}0041}{0{,}0077}\approx 0{,}6091\\ \mathrm{m}.
Arredondando com razoável precisão prática: \boxed{y\approx 0{,}609\\ \mathrm{m}}.

Passo 5

Calculo agora a velocidade média correspondente com y=0{,}609\\ \mathrm{m}. Primeiro a área exata:
A = 0{,}5(0{,}609)+2(0{,}609)^{2}.
Faço as contas:
0{,}5(0{,}609)=0{,}3045,\qquad (0{,}609)^{2}\approx 0{,}371\Rightarrow 2(0{,}371)\approx 0{,}742.
Logo
A\approx 0{,}3045+0{,}742=1{,}0465\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{1{,}0}{1{,}0465}\approx 0{,}956\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Esse valor é claramente maior que 0{,}6\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, então faz sentido atender à parte 2 do enunciado (reduzir a velocidade para 0{,}6).

Passo 6

Para obter V_{\text{alvo}}=0{,}6\\ \mathrm{m\,s^{-1}} mantendo Q=1{,}0\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}, a área necessária é
A_{\text{req}}=\frac{Q}{V_{\text{alvo}}}=\frac{1{,}0}{0{,}6}\approx 1{,}6666667\\ \mathrm{m^{2}}.
Essa área deve ser obtida pela mesma fórmula A(y)=0{,}5y+2y^{2}. Então resolvo a quadrática
2y^{2}+0{,}5y - 1{,}6666667 = 0.
Uso a fórmula de Bhaskara:
y=\frac{-0{,}5 \pm \sqrt{0{,}5^{2} + 4\cdot 2\cdot 1{,}6666667}}{4}.
Calculo do discriminante:
0{,}5^{2}+4\cdot 2\cdot 1{,}6666667 = 0{,}25 + 13{,}3333336 = 13{,}5833336,
\sqrt{13{,}5833336}\approx 3{,}686.
Tomando a raiz positiva:
y \approx \frac{-0{,}5 + 3{,}686}{4} = \frac{3{,}186}{4} \approx 0{,}7965\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \boxed{y_{\text{novo}}\approx 0{,}797\\ \mathrm{m}}.

Passo 7

Agora determino a nova declividade S_{\text{novo}} necessária para que, com essa profundidade y_{\text{novo}}, a vazão Q=1{,}0 seja obtida pela fórmula de Manning. Reescrevo Manning isolando S:
S = \left(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.
Com y_{\text{novo}}\approx 0{,}7965\\ \mathrm{m} temos:
\begin{aligned} &A_{\text{novo}}=0{,}5(0{,}7965)+2(0{,}7965)^{2}\approx 1{,}6667\\ \mathrm{m^{2}}\quad(\text{como impusemos}),\\\ &P_{\text{novo}}=0{,}5+4{,}472136(0{,}7965)\approx 0{,}5+3{,}5613\approx 4{,}0613\\ \mathrm{m},\\\ &R_{\text{novo}}=\frac{1{,}6667}{4{,}0613}\approx 0{,}4105. \end{aligned}
Cálculo de R^{2/3}:
R_{\text{novo}}^{2/3}\approx 0{,}5528.
Agora substituo em S:
S_{\text{novo}}=\left(\frac{1{,}0\times 0{,}035}{1{,}6667\times 0{,}5528}\right)^{2} \approx \left(\frac{0{,}035}{0{,}9213}\right)^{2}\approx (0{,}03798)^{2}\approx 0{,}001443.
Expressando em unidades usuais \mathrm{m\,km^{-1}} (multiplica-se por 1000):
S_{\text{novo}}\approx 0{,}001443\quad\Rightarrow\quad 1{,}443\\ \mathrm{m\,km^{-1}}.

Passo 8

Resumo numérico e checagem rápida:
  • Profundidade inicial encontrada: y\approx 0{,}609\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade correspondente: V\approx 0{,}956\\ \mathrm{m\,s^{-1}} (maior que 0{,}6\\ \mathrm{m\,s^{-1}}).
    Portanto calculamos a condição para V=0{,}6\\ \mathrm{m\,s^{-1}}:
  • nova profundidade y_{\text{novo}}\approx 0{,}797\\ \mathrm{m};
  • nova declividade S_{\text{novo}}\approx 0{,}001443 (adimensional) \approx 1{,}443\\ \mathrm{m\,km^{-1}}.

Resposta

y=0{,}609\\ \mathrm{m}\n
V=0{,}956\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\n
I_{\text{novo}}=0{,}001443\\ (\text{adim.})\;=\;1{,}443\\ \mathrm{m\,km^{-1}}\n
y_{\text{novo}}=0{,}797\\ \mathrm{m}

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